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partitions d'un ensemble
bonsoir,
soit E(n) un ensemble non vide de cardinal n.On appelle partition de A tout ensemble {A1,A2,...,Ap} de parties de En non vides,deux à deux disjoints et dont la reunion est égale à En.On note w(n) le nombre de partition de E(n).Par convention,on pose :w(0)=0
on fixe un élément x(0) de E(n).En considérant la partie qui contient x(0) ,établir que:
n
w(n)=
(de p-1 parmi n-1)w(n-p) pour p allant de 1 à n=(k parmi n-1)w(k) pour k allant de 1 à n-1
est-ce que cela inspire quelqu'un ?Car moi ça m'inspire pas du tout...
Salut,
Déjà, la deuxième somme égale la première en posant k=n-p. w(n-p) devient donc w(k) et (p-1 parmi n-1) devient (n-k-1 parmi n-1)=((n-1)-(n-k-1) parmi n-1)=(k parmi n-1).
Pour trouver la première somme, fixe un élément x_0. Pour te faire une idée de ce que représente la somme, considère le cas où p=1, puis 2, puis 3, etc.
Quand p=1, A1=x_0 donc il y a (p-1=0 parmi n-1)=1 possibilités où A1=x_0. Pour cette unique possibilité, il y a w(n-1) partitions des n-1 éléments restants.
Quand p=2, A1 est formé de x_0 et d'un autre élément (donc (p-1=1 parmi n-1)=n-1 possibilités pour former de telles paires). Pour ces n-1 possibilités, il y a w(n-2) partitions possible des n-2 éléments restants.
Etc.
Justin.
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