Un fabricant de luminaires produit chaque jour un nombre x de lustres
compris entre 0 et 600.
Le coût, exprimé en euros, de la production journalière est :
C(x) = 7/10 x2 + 130x + 30000.
On suppose que toute la production est vendu au prix de 500 euros l’unité
; la recette journalière est alors de :
R(x) = 500 x.
On appelle bénéfice B(x) = R(x) – C(x).
On se propose de déterminer pour quelles quantités de lustres, la fabrication
est rentable puis le bénéfice maximal.

Soit f la fonction définie sur [0 ; 600] par :
f(x) = 7/10 x2 + 130x + 10000.
1. Calculer f’(x).
Montrer que f’(x) > 0 pour tout x appartenant à [0 ; 600].
En déduire le tableau de variations de f(x).

2. Le plan est rapporté à un repère orthogonal.
Unités graphiques : 1cm représente 50 en abscisse, 1 cm représente 20000
en ordonnée.
a) Tracer la courbe représentative C de f et la droite D d’équation y
= 500 x.
b) Lire sur le graphique les abscisses des points communs à C et D.
Vérifier par le calcul.
c) Résoudre graphiquement sur [0 ; 600], l’inéquation 500 x > C(x).
En déduire les solutions de R(x) > 0.
d) Déterminer le maximum de R(x) sur [0 ; 600].

Application économique.
Pour quelle quantité journalières produites et vendues, la fabrication
est-elle rentable pour l’entreprise ? le bénéfice est-il maximal
?