l'intégrale est entre 0 et 1 bien sur

Salut,

oui je pense que tu vas dans le bon sens il va falloir calculer une projection me semble-t-il.

oui mais pourquoi l'intégrale serait la distance au carrée ?

Et bien c'est l'inf de la norme au carré associé au produit scalaire usuel intégrale de f*g.

Je dois y aller bon courage

Bonjour,

une façon de faire, peut-être moins élégante mais sans surprise, consiste à calculer l'intégrale, tout simplement : en développant, chaque fonction s'intègre classiquement. On trouve :
f(a,b) = Somme (de x=0 à x=1) de (ln(x)-ax-b)^2 =
= ((a^2)/3)+(b^2)+ab+(a/2)+2b+2
au minimum, les dérivées par rapport à a et à b sont respectivement nulles, d'où le système :
(2a/3)+b+(1/2) = 0
2b+a+2 = 0
que l'on résout : a=3 et b= -5/2
et le minimum f(3,(-5/2)) = 1/4

Remarque : Le dx a été oublié dans mon écriture précédente de l'intégrale.
Une variante de la méthode consisterait à dériver d'abord par rapport à a, et égaler à 0 cette dérivée, ce qui conduirait à calculer :
0 = Somme (de x=0 à x=1) de -2(ln(x)-ax-b)x.dx
et idem par rapport à b :
0 = Somme (de x=0 à x=1) de -2(ln(x)-ax-b)dx
ce qui conduit exactement au même système d'équations que précédemment, mais avec des intégrales un plus siumples.
Néanmoins, on y gagne pas globalement, car finalement il faut quand même calculer l'intégrale initiale avec a=3 et b=-5/2 pour aboutir au minimum = 1/4.

Bonjour à tous

Je confirme la réponse de JJa.

Si jamais vous avez Mathématica :



A+
Romain

Donc les 2 méthodes marchent bien

On pourrait aussi voir une troisième méthode qui consisterait à utiliser le principe d'orthonormalisation de Schmidt !

la méthode de jja est fausse car je crois que tu oublies que f(a,b) et une fonction a 2 variables et tu n'es pas sur de l'unicité de la solution de a et b quand tu vas intégrer.
ps: je me suis fais secher a l'oral de l'X l'an dernier en faisant ca xD
Bref personne ne répond a ma question !!!
une réponse SVP
merci

>> tamegaz

Tu plaisantes ou quoi ? ma réponse ne te plait pas ?

Tu veut calculer la distance de ln au plan des fonctions affines.

Il te suffit d'utiliser le théo de projection orthogonale sur F = vect(1,x).

Dim(F) = 2. Espace de dimension finie.

p(ln) = a.x+b F

<=> ln(x)-ax-b F othogonal

<=> (ln(x)-ax-b|1)=0 et ((ln(x)-ax-b|x)=0

Tu résoud ce système de 2 équations à 2 inconnues.

Tu vas trouver a = 3 et b = -5/2

Et tu en déduit la distance recherchée ...

NB : pour quelqu'un qui a passé l'oral de l'X, c'est bizarre que tu n'arrives pas ce type d'exo.

PS : la méthode de JJa est tout à fait correcte, dès l'instant ou tu justifis que l'inf est bien atteint, ce qui est contenu dans le théo de projection orthogonale sur un ev de dimension finie.

oK ?

Romain

Tu pousses le bouchon tamegaz

>> Cauchy :

ok je suis 100 fois d'accord avec toi !
mais jja veut intégrer comme un gros boeuf et resoudre alors que c'est plus compliqué que ca si on veut résoudre le probleme facon analyse ( points colle si mes souvenirs sont bons ^^ ).
sinon iil n'ya pas de probleme.
Merci beaucoup
++

je t'en prie

Etrange cette histoire d'Oral de l'X.

Ca me parait vraiment bidon pour un oral en plus, c'est de l'application directe.
T'avais eu quoi d'autre à ton oral tamegaz ?

Bonjour,

il va de soi, lorsque l'on utilise la méthode que j'ai indiquée, que l'on doit apporter certaines justifications indispensables ( justifier une dérivation sous intégrale si on en a fait une, justifier que l'extremum est bien un minimum et même plus : que ce n'est pas seulement un minimum local, mais le minimum général, etc.)
Mais répondre à une demande d'aide sur un forum n'est pas donner la réponse complète dans tous ses détails. C'est donner des indications initiales pour permettre au demandeur de trouver la suite et de faire lui-même le travail.
Il faudrait être un gros âne pour ne pas comprendre cela, ou bien être un gros aï ( voir dictionnaire si besoin) pour espérer faire faire tout le travail par d'autres.