Salut,
tu pose
z=x+iy et tu remplaces dans f(z):

z'=(x+iy+x-iy-i)/(x+iy-i(x-iy))
=(2x-i)/(x-y +i(y-x))
on simplifie en multipliant par la quantité conjuguée:
=(2x-i)(x-y-i(y-x))/((x-y)²+(y-x)²)
=(2x²-2xy-2xiy+2ix²-ix+iy-y+x)/(2(x-y)²)

=(2x²-2xy-y+x)/(2(x-y)²)+i (-2xy+2x²-x+y)/(2(x-y)²)

voiala!
z' est imaginaire pur si la partie réelle est nulle:
(2x²-2xy-y+x)/(2(x-y)²)=0

il faut x différent de y (une question précédebte sans doute...)

2x²-2xy-y+x=0

on peut ecrire:

(x-y)(2x+1)=0
comme x différent de y
il reste
2x+1=0 d'ou x=-1/2

toute la droite (verticale) des complexes z=-1/2 + i * constante
est solution de z' imaginaire pur

voila en gros pour la methode
verifie mes calculs
A+