Le n-ième nombre entiers impair est 2n-1.
Le produit des n premiers entiers naturels impairs est donc P = 1*3*5*...*(2n-1).
Si on calcule (2n)!, on obtient donc
1*2*3*...*(2n-1)*2n=P*2*4*...*2n
Le produit 2*4*...*2n est donc le produit de n entiers pairs.
Donc 2*4*...*2n=2^n*1*2*...*n=2^n*n!

On conclut donc facilement que :
(2n-1)!=P*2^n*n!

@+

Bonjour,

Suivant ton niveau, il faut peut-être faire un raisonnement par récurence: cela permet de ne pas utiliser les ... comme dans la réponse de Victor.

Cela dépend du niveau de rigueur où l'on veut se placer !

comprends pas du tout ton raisonnement victor... sorry
surtout la conclusion en fait

cela fait trois jours que je travaille sur 2 equations qu'il faut biensur demontrer par le raisonnement par récurrence les voici:

Somme de k=1 à n de 1/(1+i)^k = (1-(1+i)-^n)/i

et

Somme de k=1 à n-1 de (1+i)^k = ((1+i)^n-1)/i

Merci de m'aider car moi je n y arrive vraiment pas

J'en fais un.

Somme de k=1 à n de 1/(1+i)^k = (1-(1+i)-^n)/i   (1)
Somme de k=1 à n de 1/(1+i)^k = i.(1-(1+i)-^n)/i²
Somme de k=1 à n de 1/(1+i)^k = i.(-1+(1+i)-^n)
Somme de k=1 à n de 1/(1+i)^k = i.(-1+ (1/(1+i^n))

Supposons Somme de k=1 à n de 1/(1+i)^k = i.(-1+ (1/(1+i^n)) correct,

On a alors:
Somme de k=1 à n de 1/(1+i)^k + 1/((1+i)^(n+1))= i.(-1+ (1/(1+i^n)) + 1/((1+i)^(n+1))

Somme de k=1 à n+1 de 1/(1+i)^k = i.(-1+ (1/(1+i^n)) + 1/((1+i)^(n+1))

Somme de k=1 à n+1 de 1/(1+i)^k = -i +( i/(1+i)^n) + 1/((1+i)^(n+1))

Somme de k=1 à n+1 de 1/(1+i)^k = -i +( i(1+i)/(1+i)^(n+1)) + 1/((1+i)^(n+1))

Somme de k=1 à n+1 de 1/(1+i)^k = -i + ((i-1+1)/(1+i)^(n+1))

Somme de k=1 à n+1 de 1/(1+i)^k = -i + (i/(1+i)^(n+1))

Somme de k=1 à n+1 de 1/(1+i)^k = [-i² + (i²/(1+i)^(n+1))]/i

Somme de k=1 à n+1 de 1/(1+i)^k = [1 - (1/(1+i)^(n+1))]/i

Qui est la relation (1) dans laquelle n a été remplacé par n+1.

Donc on a montré que si:
Somme de k=1 à n de 1/(1+i)^k = (1-(1+i)-^n)/i était vraie pour une certaine valeur de n, elle était encore vraie pour n+1.   (2)

Or Somme de k=1 à n de 1/(1+i)^k = (1-(1+i)-^n)/i est vraie pour n = 1, en effet:
Somme de k=1 à 1 de 1/(1+i)^1 = (1-(1+i)^-1)/i
Somme de k=1 à 1 de 1/(1+i) = (1- 1/(1+i))/i
Somme de k=1 à 1 de 1/(1+i) = (1+i-1)/(1+i))/i = 1/(1+i)
1/(1+i) = 1/(1+i)

Comme Somme de k=1 à n de 1/(1+i)^k = (1-(1+i)-^n)/i est vraie pour n = 1, par (2) elle est vraie aussi pour n = 2.

Comme Somme de k=1 à n de 1/(1+i)^k = (1-(1+i)-^n)/i est vraie pour n = 2, par (2) elle est vraie aussi pour n = 3.

Et ainsi de proche en proche, Somme de k=1 à n de 1/(1+i)^k = (1-(1+i)-^n)/i est vraie pour tout n de N*.
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Sauf distraction.