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pb de suite

Posté par job (invité) 05-05-05 à 17:49

bonsoir, une nouvelle fois j'ai besoin d'aide pour un exercice.


on considere la suite un n appartient à IN defenie par u0=2
u(n+1)= racine(u(n)+6)
1) montrer que la suite un est croissante.
2) montrer que cette suite est majorée par 3
3) montrer qu'elle converge vers une limite l que l'on determinera


merci

Posté par
ottore : pb de suite 05-05-05 à 17:53

Bonsoir:
1 et 2 par recurrence.
3 en montrant que si un converge alors un+1 aussi et que ce sont les mêmes limites.
on trouve alors une équation qui caracterise cette limite commune...

Bonne chance,
a+

Posté par job (invité)re : pb de suite 05-05-05 à 19:02

merci
j'ai trop de mal à rediger par recurence.......

proposition à demontrer p(n): U(n+1)-U(n)>0
Uo=2 et U1=racine(8) DONC P(1) est vraie mais ensuite j'arrive pas ç generaliser........


pour la question 2 je suis toujours completement bloqué......

Posté par
H_aldnoerre : pb de suite 05-05-05 à 19:34

slt job !


3$\textrm U_{n+1}=\sqrt{U_n+6}, U_0=2, \forall n\in\mathbb{N}

3$\textrm\fbox{\blue Proposition de recurrence}

3$\textrm Soir la proposition (P_n):U_{n+1}-U_n>0

3$\textrm\fbox{\blue Initialisation}

3$\textrm Nous avons U_0=2 et U_1=U_{0+1}=\sqrt{U_0+6}=\sqrt{2+6}=\sqrt{8}

3$\textrm Soit U_1>U_0

3$\textrm Au rang n=0, la proposition (P_0) est vrai et la proposition (P_n) est donc initialisee

3$\textrm\fbox{\blue Heredite}

3$\textrm Supposons que (P_n) est vrai pour un certain rang n et montrons que la proposition est hereditaire

3$\textrm il faut donc demontrer (P_{n+1}) c a d
3$\begin{tabular}U_{n+2}-U_{n+1}>0&\leftrightarrow&\sqrt{U_{n+1}+6}-\sqrt{U_n+6}>0\\&\leftrightarrow&\sqrt{\sqrt{U_n+6}+6}-\sqrt{U_n+6}>0\end{tabular}

3$\textrm\fbox{\blue Hypothese de recurrence}

3$\textrm Par hypothese de recurrence nous avons:

3$\begin{tabular}U_{n+1}-U_n>0&\leftrightarrow&\sqrt{U_n+6}-U_n>0&\\\leftrightarrow&\sqrt{U_n+6}>U_n&\\\leftrightarrow&\sqrt{U_n+6}+6>U_n+6&\\\leftrightarrow&\sqrt{\sqrt{U_n+6}+6}>\sqrt{U_n+6}\\\leftrightarrow&\sqrt{\sqrt{U_n+6}+6}-\sqrt{U_n+6}>0\end{tabular}

3$\textrm la proposition est donc hereditaire

3$\textrm \fbox{\red Finalement la proposition etant initialisee et hereditaire, elle est donc vrai \forall n\in\mathbb{N}

a toi de jouer !


@+ sur l' _ald_

Posté par job (invité)re : pb de suite 05-05-05 à 20:20


merci super bien redigé ta coorection,

je vais essayé d'en faire autant pour la question 2.peux-tu me coriger s'il te plait

proposition de recurrence:
soit la proposition de recurrence p(n) Un+1<3

Initialisation:
Uo<3
au rang n=0 la proposition P(0) est vraie et la proposition P(n) est initialisée

Heridité

Supposons que P(n) est vraie pour un certain rang n et montrons que la proposition est heriditaire

il faut donc Un+1<3


Hypothese de recurrence

par hypothese de recurrence nous avons:

Un<3 => Un+6<9 => racine(Un+6)<3 => Un+1<3

pour conclure, la proposition etant initialisé et heriditaire  la suite est majorée par 3.

question N)3
3) montrer qu'elle converge vers une limite l que l'on determinera



une suite croissante et majorée est convergente.

=> Un = Un+1    Un+1[sup][/sup]2=Un+6 =>Un²-Un-6=0
solutuibn de l'equation Un=3 donc L=3.

voilà j'espere que c'est tout bon

Posté par
H_aldnoerre : pb de suite 05-05-05 à 21:12

re


c'est parfait




@+ sur l' _ald_

Posté par job (invité)merci 05-05-05 à 21:15

tu viens de me reconcilier avec la recurrence!!!!
@+ et encore merci

Posté par
H_aldnoerre : pb de suite 05-05-05 à 21:25

au fait ... attention a la redaction a la fin ...

3$\textrm U_n converge alors U_{n+1} aussi et ceux sont les memes limites

3$\textrm soit :

3$\begin{tabular}\lim_{n\to+\infty}(U_n)&=&\lim_{n\to+\infty}(U_{n+1})\\&=&\lim_{n\to+\infty}(\sqrt{U_n+6})\end{tabular}

3$\textrm posons \lim_{n\to+\infty}(U_n)=l et par passage a la limite on trouve l'equation :

3$l=\sqrt{l+6}\leftrightarrow l^2=\sqrt{l+6}^2\leftrightarrow l^2=l+6\leftrightarrow l^2-l-6=0

... etc ...

equation du second degre facilement resolvable


@+ sur l' _ald_

Posté par job (invité)j etais pas loin! 05-05-05 à 23:09

j'avais oublier l'etape avec les mimites pour pustifier l dans l'equation.

merci encore

job

Posté par
H_aldnoerre : pb de suite 06-05-05 à 00:21

pas de quoi



je te rappelle que ce que tu as fait n'est pas tres bien toute fois

Posté par Erwan (invité)re : pb de suite 18-01-06 à 11:48

Bonjour, je refais l'exercice (très bien rédigé)  et j'ai un souci quant à la proposition de récurrence de Job : "Un+1 <3" ...j'aurais plutôt mis "Un<3" tout court puisque l'on veut démontrer que (Un) est majorée.

Pouvez vous m'expliquer celà ?

Merci

Posté par Erwan (invité)re : pb de suite 18-01-06 à 14:31

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