Bonjour sylvie12

C'est tout à fait normal que tu n'arrives pas à démontrer cette inégalité, pour la simple et bonne raison qu'elle est fausse. En effet, en prenant a=b=c=d, on s'en rend compte facilement.

Kaiser

merci Kaiser
c'est pourtant l'énoncé proposé

Dans ce cas, y a-t-il des conditions supplémentaires imposées aux réels a, b, c et d ?

Une précision : est-ce bien l'inégalité qu'il faut montrer ?

Kaiser

oui, c'est bien ça

Et pour ma première question ?

a, b, c, d sont 4 éléments de [0 ; pi]

Bonjour

Et en utilisant les propriétés de convexité ?

Par ce que là on reconnait une inégalité de Jensen :

x -> sin(x) est concave sur [0,pi/2] donc :

quelque soit a,b,c,d éléments de [0,pi/2], on a :



Je ne sais pas si ça peut aider ... à voir !

Romain

Oups faute de frappe (d'où l'interet de l'appercu)

je voulais tapper :



Romain

Sauf erreur, elle est même concave sur [0,pi]

Car de dérivée seconde x -> -sin(x) négative ou nulle sur [0,pi]

donc pour a,b,c,d dans [0,pi], on a bien :



Reste à prouver que :



Kaiser : arrête moi tout de suite si je dis plus que des grosses bétises !

Romain

Bonjour Romain

Dans l'inégalité de Jensen, je crois qu'il faut supposer que "la somme des coefficients" est égale à 1.
De plus, je crois que l'inégalité que tu proposes est fausse (en prenant on obtient ).

Par contre, en utilisant ce que tu proposes, on aurait plutôt l'inégalité suivante :



Kaiser

je suis un peu perdue !

Exactement Kaiser, tu as raison !!

Mais de toute façon, ce n'est pas la méthode demandée pour résoudre cet exo, je n'avais pas lu l'énoncé ...

Merci en tout cas de la correction ...

Romain

Kaiser >

L'énoncé de sylvie12 est peut-être faux, puisque dans ce cas, on trouverait nous aussi :



...

Romain

Romain> Je t'en prie.
sylvie> Ce n'est pas la peine de chercher plus longtemps : l'énoncé est faux.

ok merci pour tout Kaiser

Romain> L'inégalité que tu viens d'écrire est vraie (avec Jensen).

et merci à Romain également

Pour ma part, je t'en prie !

Je t'en prie !

Même si j'ai faillit raconter des bétises

Je m'en souviendrais maintenant : Jensen => somme coeff = 1 !! ^^

Romain

Romain> Juste pour préciser un peu les choses et pour ne pas t'induire en erreur :

Le résultat que tu utilises est bien celui qui suit ?

Soit I un intervalle et f une fonction convexe sur I, alors pour tout entier naturel non nul n, pour tous réels et tous réels positifs tels que , on a :

.


En fait, on peut adapter cette inégalité dans le cas où la somme des coefficents n'est pas forcément égal à 1 (mais supposée tout de même strictement positif). Dans ce cas, notons T cette somme et posons , alors on a et donc d'après ce qui précède, on a :



C'est-à-dire :

.

Kaiser

Ok merci Kaiser

Très astucieux !

En effet, c'est bien le théorème que j'avais

Romain