Salut
a) Tu as donc trouvé
b)Donc
Tu peux donc montrer assez facilement par récurrence que c'est vrai pour tout n.
Essaie de faire une récurrence sur n.

c)Ce qu'il faut voir c'est que
Ainsi et

Quelle reponse ultra rapide dis donc...
Merci a toi titimarion, je vois bien pour la b) et je vais de suite tenter la recurrence, par contre la c) je comprend nettement moins mais je reposterai si je n'y arrive pas...Merci bcp

En fait ce que j'ai mis en c permet de montrer la récurrence est a pret il faut étudier les deux suites

ok, pour la recurrence du b, quand je suis pour le rang n+1, est ce correct d'écrire Aⁿ⁺¹=A*Aⁿ ou non? parce que comme ce n'est pas commutatif est ce pareil que Aⁿ*A?
Je suis pas a l'aise avec le fait que ca ne soit pas commutatif...

En effet cela peut paraitre génant car l'ensemble des matrices n'est pas commutatif cependant par définition
n fois donc dans ce cas on peut bien faire commuter et A pas de soucis.

sinon pour la c) je trouve bien les suites que tu m'as donné, j'en deduit pour n different de 0 que l'on aura : U_n+2-4U_n+1-5U_n et je pensais passer par l'equation caracteristique, c'est la bonne methode ?

Je pense en effet que c'est la bonne méthode une fois que tu as trouvé Un tu peux en désuire Vn et enfin An

ok j'ai terminé pour Un et je trouve pour tout n entier naturel :

Je pense que tu confirmera je ne dois pas m'etre trompé la dessus tout de meme. Juste une remarque : est ce que cela ne comprend pas uniquement les suites geometriques ?

Désolé ca fait longtemps que je n'ai pas cherché les solutions de tels suites je en me souvien splus exactement de la méthode.
Mais cela parait juste car ton Un vérifie la relation que l'on a trouvé

la matrice A est une matrice symetrique donc il existe une base de vecteur prore dans laquelle a est semblable a une matrice D diagonale.donc il existe P une matrice orthogonale tele que D=P^(-1)*A*P
donc A=P*D*P^(-1)
calcul a effectuer etc apres tu trouve directement A^n et tu decompose en une somme pour trouver la question
c un peu plus long que le reste mais tu fais tout le tour du cour

La question a/ donne: A² -4A = 5I3
d'où le polynome P(X)= X²-4X-5 est un anulateur de A (c'est à dire que P(A)=0)
effectuons alors la division euclidienne de X^n par P(X) ,il exite donc deux polynomes Q(X) et R(X) vérifiant:
X^n = Q(X)P(X)+R(X) avec R=0 ou degP<2
donc on peut écrire:
R(X)= UnX+Vn
en remarquant que -1 et 5 sont racines de P tu as:
(-1)^n=-Un+Vn
5^n=5Un+Vn
systéme facile à résoudre on trouve:
Un=(5^n-(-1)^n)/6 et Vn=(5^n+5(-1)^n)/6
tu remplace maintenant X par A tu as:
A^n=Q(A)P(A)+R(A)=R(A)(puisque P(A)=0) donc:
A^n=UnA+VnI3
Certe je n'ai pas respécté l'ordre des questions mais mon but est de mettre en évidence (à travers cet exercice )l'utilité des polynomes en calcul matriciel. Salut !!!