Bonjour j'ai un devoir de maths qui me pose pas mal de problèmes.
Voici l'énoncé et ce que j'ai fait:

(on dit que x est n périodique ssi f^n(x)=x et f^(n-1)(x) x)

Soit I=[0,1] et T:I->I définie par T(x)=2x si x[0 , 1/2] et T(x) = 2 - 2x si x]1/2 , 1].

1) Montrer que T est continue: ok ça c'est bon
2) Graphes de T,T² et T^3, ok aussi
3) Pour tout n1, donner une expression de T^n (on introduira les intervalles de la forme [k/2^n , (k+1)/2^n]

C'est là que ça se corse, après mes quelques essais pour n=2 , 3 , 4 etc, j'ai réussi à conjecturer une formule:
Pour n=2 ça donne:
x[0,1/4] => T²(x) = 4x
x]1/4,1/2] => T²(x) = 2-4x
x[1/2,3/4] => T²(x) = -2+4x
x[3/4,1] => T²(x) = 4-4x
J'ai conjecturé
T^n(x) = (-1)^(k+1)*2E((k+1)/2) + (-1)^k*2^n*x
(avec k celui de l'intervalle qu'il est demandé d'introduire)

Le problème c'est que je n'arrive pas à le montrer par récurrence, je ne sais pas à quels moments introduire les intervalles demandés... dans P(n)?
En plus il y a n et k qui bougent tous les deux, faut-il en fixer un? bref je suis perdu.

4) Déterminer le nombre de points fixes de T^n et montrer qu'il exise des points périodiques de toutes périodes.
Nbre de points fixes: j'ai conjecturé 2^n, mais difficultés pour formaliser (récurrence?) et pour la deuxième question, aucune idée...

5) ok
6) Montrer que l'ensemble des points périodiques est dense dans [0,1].
Là pareil c'est la cata, j'ai pensé à la construction récursive d'une suite grâce aux intervalles [k/2^n,(k+1)/2^n] mais je n'arrive à rien...

Merci d'avance si vous avez le courage de tout lire et de m'aider...