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periodicité introuvable

Posté par benmae (invité) 20-02-06 à 21:47

Bonjour à tous.
Je suis dans l'impossibilité de trouver une periodicité.
La fonction est f(x)=(sin(PI(2n+1)xT))/(sin(PIxT))
avec T constante et N un entier naturel.
J'ai beau tourner dans tous les sens des f(x+P), je ne trouve jamais quelque chose de coherent avec des applications numériques qui donnent des periodes caracteristiques.
Merci pour reponse
@+

Posté par
kaiser Moderateurre : periodicité introuvable 20-02-06 à 21:50

bonsoir benmae

Que penses-tu de P=\frac{1}{T} ?

Kaiser

Posté par benmae (invité)periodicité introuvable 20-02-06 à 21:58

bonsoir Kaiser, merci de t'être penché sur ma quastion.
Je ne vois pas comment tu fais ça. De plus cela n'est pas raccord avec le graph et les resultats trouvés sur ma calcul en utilisant des appli num (pour T et n).
Je vois une periodicité de 5 pour T=4 et n=3
                           3        5      6
Alors je pige pas...

Posté par
kaiser Moderateurre : periodicité introuvable 20-02-06 à 22:12

Tout d'abord, on a :

\large{sin(\pi (x+\frac{1}{T})T)=sin(\pi xT+\pi)=-sin(\pi xT)}

Ensuite, on a :


\large{sin((2n+1)\pi (x+\frac{1}{T})T)=sin((2n+1)\pi xT+(2n+1)\pi))=-sin((2n+1)\pi xT)}.

D'où le résultat.

Kaiser

Posté par benmae (invité)periodicité introuvable 20-02-06 à 22:26

excellent, merci beaucoup
le fait que tu sois resté eveillé va me permettre d'aller me coucher.
Ne veille pas trop quand même
Merci Kaiser.

Posté par
kaiser Moderateurre : periodicité introuvable 20-02-06 à 22:27

Mais je t'en prie !
(Je vais quand même rester un peu !)

Posté par benmae (invité)limite or not limite 21-02-06 à 10:51

Bonjour,
je cherche les limites en 0 et 1/T de la fonction
f(x)=(sin(PI(2n+1)xT))/(sin(PIxT))
avec T constante et N un entier naturel.

Merci si quelqu'un trouve...

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Posté par
Roulianere : limite or not limite 21-02-06 à 13:12

Bonjour,

en 0 utilise que la limite en 0 de \frac{sin(U)}{U} est 1.

Nicoco

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Posté par benmae (invité)limite or not limite 21-02-06 à 13:19

bonjour Nicoco
merci de te pencher sur mes limites en limites.
En aucun cas je n'arrive à me rapprocher un temps soit peu de la forme connue sin u/u.
y es-tu parvenu?
merci

*** message déplacé ***

Posté par
matheux2006re: limite or not limite 21-02-06 à 14:03

salut!

si tu multiplies et divises le numérateur par: (2n+1)Tx

et si tu multiplies et divises le dénominateur par:
Tx

et tu poses X=(2n+1)Tx  et Y=Tx

la limite va devenir:
\frac{lim(X->0)\frac{sinX}{X}}{lim(Y->0)\frac{sinY}{Y}*(2n+1)

et ceci, tend vers 2n+1

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Posté par benmae (invité)limite or not limite 21-02-06 à 14:56

idem pour 1/T
merci à Nicoco et Matheux2006.
@+

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Posté par benmae (invité)coefficient d une tangeante 22-02-06 à 20:29

Bonsoir à tous,
je recherche le coeff de la tangeante en x=0 de la fonction suivante :

f(x)=(sin((2n+1)xT)/(sin(xT)

avec T constante et n entier naturel.
J'ai essayé la methode f'(a)(x-a)+f(a) mais je n'ai rien de bon.
Si quelqu'un a une idée, merci beaucoup.



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Posté par
muriel Correcteurre : coefficient d une tangeante 22-02-06 à 20:49

bonjour ,
comment cela, ta formule ne te donne rien de bon ?

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Posté par benmae (invité)coefficient d une tangeante 22-02-06 à 20:58

bonsoir muriel
rien de bon : je veux dire par là que je m'empêtre dans des calculs trop lourds, je passe à coté d'une simplification qui m'empêche de trouver le resultat.
Voila,
merci de te pencher sur mon problème.
@+

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Posté par
muriel Correcteurre : coefficient d une tangeante 22-02-06 à 21:13

comment cherches tu les valeurs de f(0) et de f'(0), si elles existent ?

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Posté par benmae (invité)coefficient d une tangeante 22-02-06 à 21:39

j'ai calculé f'(x) mais elle n'existe pas en 0 f(o) n'existe pas non plus
bref je n'arrive pas à simplifier ma derivée pour empecher une FI ou un denominateur à 0
je coince

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Posté par benmae (invité)coefficient d une tangeante 22-02-06 à 21:39

j'esssaie également de passer par une limite mais cela ne m'avance pas plus

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Posté par benmae (invité)coefficient d une tangeante 22-02-06 à 21:55

dois-je faire lim x tends vers 0 de
(f(x)-f(0))/(x-0)?
je tombe sur sin(2n+1)x/sin
la limite en 0 donne 0,
mais j'ai un f(0) qui n'existe pas et c'est génant de l éliminer alors que je n'ai pas le droit d'écrire f(0)

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Posté par
muriel Correcteurre : coefficient d une tangeante 22-02-06 à 21:56

je m'en doutais
premièrement, il faut prouver que f est définie en 0.
tu connais cette limite :
\lim_{x\;\to 0}\;\frac{sin(x)}{x}\;=\;1

tu peux peut-être d'aider de cela, pour montrer que
\lim_{x\;\to 0}\;f(x)\;=\;2n+1

ensuite, pour f'(0)
il faut prouver que
\lim_{x\;\to\0}\;\frac{f(x)-(2n+1)}{x} existe et est finie.

Personnellement, je ne suis pas encore arrivée à trouver le déclic
mais peut-être que tu auras plus de chance


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Posté par
kaiser Moderateurre : coefficient d une tangeante 22-02-06 à 21:57

Bonsoir benmae

Tu peux donner un sens à f(0).
En effet, la limite de f en 0 existe.

kaiser

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Posté par
kaiser Moderateurre : coefficient d une tangeante 22-02-06 à 21:58

Trop tard !

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Posté par benmae (invité)coefficient d une tangeante 22-02-06 à 22:02

j'ai deja prouvé que lim x tends vers 0 de f(x) est 2n+1
je n'arrive pas pour f'

*** message déplacé ***

Posté par
muriel Correcteurre : coefficient d une tangeante 22-02-06 à 22:08

tu pouvais le dire plutôt, non ?
je ne peux pas deviner tes difficultés.
Tu vois ainsi, je suis sûre qu'on aurait pu aller plus vite

bon je me penche un peu plus sur ton problème

*** message déplacé ***

Posté par
muriel Correcteurre : coefficient d une tangeante 22-02-06 à 22:12

connais tu les développement limité ?
dans ce cas, essaie dans cette direction

*** message déplacé ***

Posté par benmae (invité)coefficient d une tangeante 22-02-06 à 22:15

je ne connais pas les DL, mais je vais chercher
merci Muriel

*** message déplacé ***

Posté par benmae (invité)coefficient d une tangeante 22-02-06 à 22:18

vu le type d'exercice, je ne pense pas que les DL y interviennent...
je reprends mes recherches...

*** message déplacé ***

Posté par
muriel Correcteurre : coefficient d une tangeante 22-02-06 à 22:21

c'est surprenant que tu connaisses l'abréviation de développement limité sans les avoir vu
sinon, je ne comprends pas cette remarque : vu le type d'exercice, je ne pense pas que les DL y interviennent...
il y a des types d'exercices pour les utiliser ?

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Posté par benmae (invité)coefficient d une tangeante 22-02-06 à 22:28

je me replonge dans des etudes de fonction qui sont par ordre de difficulté croissante.
A ce niveau on est pas encore sensés connaitre les DL.
En ce qui concerne ces fameux developpements, je les ai étudiés il y a pas mal de temps et je n'ai plus aucun automatisme, je redecouvre.


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Posté par
muriel Correcteurre : coefficient d une tangeante 23-02-06 à 12:42

ok
désolée, mais je n'ai aucune autre idée qui me vient pour trouver cette limite

*** message déplacé ***

Posté par benmae (invité)coefficient d une tangeante 23-02-06 à 13:08

merci quand même
pour info peut-tu me donner ta resolution par les DL si tu l'as
@++

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Posté par
muriel Correcteurre : coefficient d une tangeante 23-02-06 à 14:11

oui, cela peut se faire, mais je ne te mets pas tous les détails, parce que c'est assez lourd à écrire (et je n'ai pas envie de tout écrire ) :

3$sin(u)\;=\;u\;-\;\frac{u^3}{3!}\;+\;o(u^4)
3$\frac{1}{1\;+\;u}\;=1\;-\;u\;+\;u^2\;-\;u^3\;+\;u^4\;+\;o(u^4)

3$sin(\pi(2n+1)xT)\;=\;\pi(2n+1)xT\;-\;\frac{(\pi(2n+1)xT)^3}{3!}\;+\;o(x^4)
3$sin(\pi xT)\;=\;\pi xT\;-\;\frac{(\pi xT)^3}{3!}\;+\;o(x^4)

d'où
3$\frac{1}{sin(\pi xT)}\;=\;\frac{1}{\pi xT\;-\;\frac{(\pi xT)^3}{3!}\;+\;o(x^4)}\\\;\;\;=\;\frac{1}{\pi xT\;(1\;-\;\frac{(\pi xT)^2}{3!}\;+\;o(x^3))}\\\;\;\;=\;\frac{1}{\pi xT}\;(1\;+\;\frac{(\pi xT)^2}{3!}\;+\;(-\;\frac{(\pi xT)^2}{3!})^2\;+\;o(x^4))\\\;\;\;\;=\;\frac{1}{\pi xT}\;+\;\frac{\pi xT}{3!}\;+\;\;\frac{(\pi xT)^3}{(3!)^2}\;+\;o(x^3)


3$\frac{sin(\pi(2n+1)xT)}{sin(\pi xT)}\;=\;\(\pi(2n+1)xT\;-\;\frac{(\pi(2n+1)xT)^3}{3!}\;+\;o(x^4)\)\;\(\frac{1}{\pi xT}\;+\;\frac{\pi xT}{3!}\;+\;\;\frac{(\pi xT)^3}{(3!)^2}\;+\;o(x^3)\)\\\;\;\;=\;2n+1\;+\;x^2\times A
où A est une fonction de x (je n'ai aucune envie de chercher la valeur exacte

ainsi :
3$\lim_{x\;\to\0}\;\frac{f(x)-(2n+1)}{x}\;=\;0

voilà, après tous ces calculs, j'obtiens une limite qui existe et qui est finie, conclusion (si je ne me suis pas trompée dans mes calculs ) : f'(0) = 0

ainsi la tangente a pour équation : y = 2n+1

tout cela est à vérifier

*** message déplacé ***

Posté par benmae (invité)coefficient d une tangeante 23-02-06 à 14:53

merci pour la demo Muriel,
je prends un alcaseltzer et je potasse
@+++


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Posté par
muriel Correcteurre : coefficient d une tangeante 23-02-06 à 15:07

de rien
mais le mieux c'est que tu essaies de le faire tout seul

*** message déplacé ***

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : coefficient d une tangeante 23-02-06 à 19:27

Bonjour;
(*)On pouvait remarquer que la fonction \fbox{f{:}x\to\frac{sin((2n+1)\pi xT)}{sin(\pi xT)}\hspace{5}x\in]-\frac{1}{T},\frac{1}{T}[-\{0\}\\f(0)=2n+1} est continue paire et donc que \blue\fbox{f'(0)=0} si jamais elle est dérivable en 0.
(*)Pour prouver la dérivabilité de f en 0 on peut passer en complexe pour voir que:
\fbox{\forall x\in]-\frac{1}{T},\frac{1}{T}[-\{0\}\\f(x)=\frac{sin((2n+1)\pi xT)}{sin(\pi xT)}=\frac{a^{2n+1}-b^{2n+1}}{a-b}} où \fbox{a=e^{i\pi xT}\\b=e^{-i\pi xt}} et donc que \fbox{\forall x\in]-\frac{1}{T},\frac{1}{T}[-\{0\}\\f(x)=\Bigsum_{k=0}^{2n}a^kb^{2n-k}=\Bigsum_{k=0}^{2n}e^{2i(k-n)\pi xT}} et vu que f est réelle on aboutit à l'expression \blue\fbox{\forall x\in]-\frac{1}{T},\frac{1}{T}[\\f(x)=\Bigsum_{k=0}^{2n}cos(2(n-k)\pi xT)} (valable pour x=0).
remarquer que cette derniére expression de f montre que celle ci est C^{\infty} sur \mathbb{R}.
Sauf erreurs bien entendu


*** message déplacé ***

Posté par
muriel Correcteurre : periodicité introuvable 23-02-06 à 20:11

petite question : comment passes tu de :
\fbox{\forall x\in]-\frac{1}{T},\frac{1}{T}[-\{0\}\\f(x)=\Bigsum_{k=0}^{2n}a^kb^{2n-k}=\Bigsum_{k=0}^{2n}e^{2i(k-n)\pi xT}}
à
\blue\fbox{\forall x\in]-\frac{1}{T},\frac{1}{T}[\\f(x)=\Bigsum_{k=0}^{2n}cos(2(n-k)\pi xT)}

Posté par
kaiser Moderateurre : periodicité introuvable 23-02-06 à 21:18

Bonsoir Muriel

elhor_abdelali passe de la première expression à la seconde expression en remarquant que f est à valeurs réelles.
Ainsi, f est égale à sa partie réelle et comme Re(e^{2i(k-n)\pi xt}=cos(2(k-n)\pi xt)) on a le résultat pour x non nul.
On remarque que cette relation est aussi vraie pour x=0 car f(0)=2n+1.

Kaiser

Posté par
muriel Correcteurre : periodicité introuvable 24-02-06 à 12:29

ok, merci, je n'avais pas lu ce qu'il avait érit

Posté par benmae (invité)periodicité introuvable 25-02-06 à 09:47

merci à tous pour vos reponses
@+++

Posté par
muriel Correcteurre : periodicité introuvable 25-02-06 à 12:22

de rien


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