bonjour,
je n'arrive pas à démontrer qu'une permutation est d'ordre 2 si et seulement si sa décompostition en produit de cycles disjoints ne contient que des transpositions. On est dans Sn le groupe symétrique sur {1...n}
je crois que je mélange le n de Sn et le n qui est l'ordre de la permutation.
Pourriez vous m'éclairer, s'il vous plait?
Bonsoir
Il est clair qu'un produit de 2-cycles disjoints est une permutation d'ordre 2.
Si une permutation n'est pas un produit de 2-cycles disjoints, on peut trouver
un k-cycle (avec k>2) dans sa décomposition en produit de cycles disjoints, et
un k-cycle est d'ordre k...
Puis-je vous demander de l'aide pour la suite?
On a k,k
3
Il faut écrire le cycle (2 4 6... 2k 2k+1...3 1)comme produit d'au plus deux permutations d'ordre 2. et le cycle (2 4 6..2k 2k-1..3 1) de la même facon.
pour le premier je trouve:
s=(12)(34)(56)...(2k-1 2k) et t=(23)(45)...(2k 2k+1)
pour le second :
s=(12)(34)(56)...(2k-1 2k) et t=(23)(45)...(2k-2 2k-1)
Il faut ensuite montrer que tout cycle s'écrit comme le produit d'au plus deux permutations d'ordre 2, dont les supports sont inclus dans le support du cycle.
je n'arrive pas à commencer pourriez vous me donner un coup de pouce?
merci par avance.
Voici une idée :
Quitte à rebaptiser les éléments, on peut précisément ramener des cycles de longueur paire à un cycle (2 4 6..2k 2k-1..3 1),
et les cycle de longueur impaire à un cycle du type (2 4 6... 2k 2k+1...3 1).
Par exemple, considérons le cycle (3 5 6 2 1 4) de longueur paire
On renumérote les éléments : 3 -> 2, 5 -> 4, 6 -> 6, 2 -> 5, 1 -> 3, 4 -> 1
On a alors le cycle (2 4 6 5 3 1) = [(1 2)(3 4)(5 6)].[(2 3)(4 5)] par la partie précédente. En revenant au nom d'origine de chaque élément
(c'est-à-dire en appliquant la permutation (3 2)(5 4)(6)(2 5)(1 3)(4 1) à chaque transposition de la décomposition), on trouve
(3 5 6 2 1 4) = [(4 3)(1 5)(2 6)].[(3 1)(5 2)]
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