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Permutation de symbole sigma dans une somme finie

Posté par
wazatax 09-01-10 à 18:06

Bonjour à tous

Alors voilà j'ai une petite question qui me chagrine depuis un moment maintenant et pour laquelle je n'ai jamais trouvé de réponse claire.

Quand on a une somme finie, avec plusieurs indices de sommations, et plusieurs signes sigma, existe t'il une règle pour les permuter ?

Par exemple, admettons qu'on ai une matrice A et une matrice B de coefficient a_{i,j} et b_{i,j}.
Si on prend la matrice A*B=c_{i,j}, et que je veux calculer la somme sur une ligne i des coefficients de A*B, l'expression d'une telle somme est avec deux signes sigmas, dont l'un somme sur j et l'autre sur une variable muette k :

\sum_{j=1}^n \sum_{k=1}^n a_{i,k} \times b_{k,j}

Dans l'exercice dont il est question, on doit permuter les deux sigma pour retrouver des expressions connues. Ma question est donc de savoir quelle est la règle pour permuter ces signes ?

Merci d'avance

Posté par
critoure : Permutation de symbole sigma dans une somme finie 09-01-10 à 19:52

Bonjour,

Pour faire simple, on va prendre n=2.

i est fixé.
\Bigsum_{j=1}^{2}\Bigsum_{k=1}^{2}a_{i,k}b_{k,j}=(a_{i,1}b_{1,1}+a_{i,2}b_{2,1})+(a_{i,1}b_{1,2}+a_{i,2}b_{2,2}) (bon, les parenthèses ne servent à rien ; les deux premiers termes correspondent à j=1, les deux derniers à j=2)
alors que \Bigsum_{k=1}^2\Bigsum_{j=1}^{2}a_{i,k}b_{k,j}=(a_{i,1}b_{1,1}+a_{i,1}b_{1,2})+(a_{i,2}b_{2,1}+a_{i,2}b_{2,2}) (là non plus pas besoin de parenthèses) : c'est exactement la même somme, à l'ordre près !

Quand tu as des sommes finies, pas de souci, tu peux permuter les signes "somme" : ça revient seulement à changer l'ordre des termes, ce qui n'est pas grave puisque l'addition + est commutative.

Posté par
wazataxre : Permutation de symbole sigma dans une somme finie 09-01-10 à 19:54

Ok merci, je pensais bien que ça devait rien changer, mais je voulais en être sûr.

Pasque des fois c'est un peu flou, y'avais des inversions de deux signes somme, et aussi des inversion dans les produits (de façon à faire apparaitre des sommes connues, je le comprend mieux maintenant) mais ça ne change rien, voilà qui rend la notation bien plus commode.

Merci pour ta réponse claire en tout cas

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Permutation de symbole sigma dans une somme finie 09-01-10 à 22:45

Salut

Sauf qu'il faut faire attention si les deux sommes ont des indices dépendants: par exemple une somme de i=1 à n, avec une somme de j=1 à i ..

Posté par
kybjmre : Permutation de symbole sigma dans une somme finie 09-01-10 à 23:14

Pour y voir clair je me fais un dessin de l'ensemble où (j,k) varie .P

1.Si on a :1jp(1kq f(j,k)) je vois que j'ajoute tous les f(j,k) , (j,k) appartenant à {1,...,p} {1,....,q} donc :1jp(1kq f(j,k)) = 1kq(1jp f(j,k))

2.Si on a :1jp(1kq f(j,k))  

Posté par
kybjmre : Permutation de symbole sigma dans une somme finie 09-01-10 à 23:24

Suite (après une faussse maneuvre)

3.Si on a :1jp(1kj f(j,k)) les indices (j,k) se promènent dans le "triangle"  { (j,k) | 1 k j p }  donc :1jp(1kj f(j,k)) = 1kp(j=kj=p  f(j,k))


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