Bonjour julian_7,

pour les sommes infinies de termes positifs on peut toujours tout permuter, mais en s'autorisant à ce que le résultat soit infini.

Dans le cas où la première somme est infinie mais pas la suivante, et si la série converge, il n'y a aucun problème.
Idem si la première est finie mais pas la suivante, et si la série (donc ici la deuxième somme) converge.

Enfin dans le cas de deux sommes infinies avec des termes négatifs en nombre infini, il y a des conditions suffisantes pour s'autoriser à intervertir.

L'une d'entre elles est qu'il y ait convergence absolue.
Dans le cas général, il faut recourir à la notion de famille sommable.


Tigweg

Bonjour Tigweg,

Comment faire la démonstration de ce que tu as expliqué à julian?
Il y a-t-il un théorème particulier? Faut-il passer par les sommes partielles?

Merci d'avance

1.Il faut d'abord définir ce qu'on entend par  sommes infinies .
Soit X une partie non vide de  .
Si X est finie la somme de ses éléments sera désignée par A .
Si X n'est pas fini soit PF(X) l'ensemble des parties finies non vides de X .
Il s'agit de définir une limite éventuelle des sommes SA lorsque on prend des A dans PF(A) de + en + grands   .
Plus rigoureusement : L'ensemble des réels r vérifiant :
" pour tout s > 0 il existe  A dans PF(A) tq pour tout B de PF(A) contenant A   on a : | r - SB | inférieur à s   " est soit vide soit un singleton ( on pose alors X := r )
  Si tu manipules correctement les quantificateurs tu peux montrer la partie " s'il y en a un , il n'y en a pas d'autres " .
..Il y a des X pour lesquels SX n'existe pas ; par  exemple X = { (-1)ⁿ | n   *}

Mais on a : Si X + , SX existe SSI X est majorée  (et alors SX= Sup(X)
Tu peux le prouver assez facilement .

Soient alors X et Y des parties majorées de + . Si on pose XY = { xy | (x,y) XY} alors XY est majorée et  SXY = (SX).(SY)
Ca se prouve bien aussi . Essaie .

Correction :
Soit X une partie non vide de +  
.Si X est finie la somme de ses éléments sera désignée par SX .

Ma connexion à internet saute à des moments imprévus me faisants perdre ce que je rédige . Je peux récupérer mes " aperçus " mais les signes tels que , , ...ne  sont pas récupérables . Cela m'entraine à rédiger parfois bizarrement .

Désolée de ne pas avoir répondu avant, je pensais être avertie par email lorsqu'il y aurait une réponse à mon post et donc j'attendais.
J'ai beaucoup de mal à comprendre la démonstration... mais merci pour votre temps.
Je vais retourner travailler.