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permutation et cycle

Posté par
robby3 29-05-24 à 21:04

Bonjour à tous,

Voici l'énoncé qui me pose problème:

Citation :
Soit n un entier, \sigma une permutation de \{1,...,n\} et (x_1...x_k) un cycle de S_n.

Calculer \sigma(x_1...x_k)\sigma^{-1}


Je ne sais absolument pas comment débuter...
Une idée ?

Posté par
GBZMre : permutation et cycle 29-05-24 à 22:37

Bonsoir.
Commence par calculer l'image de \large \sigma(x_1) par cette permutation. Ça te donnera peut-être une idée ...

Posté par
carpediemre : permutation et cycle 30-05-24 à 08:24

salut

te rappeler aussi qu'un cycle est une permutation particulière et il peut être pratique de noter \tau le cycle (x_1, x_2, ..., x_k)

Posté par
robby3re : permutation et cycle 30-05-24 à 14:12

Bonjour à tout les deux,

GZBM> justement, "cette" permutation n'est pas  très explicite pour moi...Je dirais que \sigma(x_1)=x_2 sans grande conviction...

Carpediem > soit \tau :=(x_1 ...x_k)
je fais quoi avec ça ?

En fait, si je commence simple, j'ai bien envi d'écrire que y_1=\sigma(x_1) donc \sigma (x_1...x_k)\sigma^{-1}(y_1)=\sigma(x_1...x_k)(x_1)=\sigma(x_2 x_1....x_k) =(\sigma(x_1)  x_1...x_k)
Qu'en pensez vous ?

Posté par
robby3re : permutation et cycle 30-05-24 à 14:25

Est-ce que du coup pour i\in\{1,...,k\} si on appelle y_i=\sigma(x_i) alors on a \sigma(x_1...x_k)\sigma^{-1}(y_i)=(\sigma(x_1)....\sigma(x_k)) ?

Et ça bouge pas si k<i\leq n ??

Posté par
carpediemre : permutation et cycle 30-05-24 à 14:31

si \tau = (x_1, x_2, ..., x_k) alors :

que vaut \tau (x_i) pour i \in \{1,..., k\} ?

que vaut \tau (x) si x \notin \{x_1, ..., x_k\} ?

en gros quelle est la définition d'un cycle ?

Posté par
carpediemre : permutation et cycle 30-05-24 à 14:33

ha tu as répondu entre-temps !!

je répondais à ton post de 14h12 : la dernière ligne latex est fausse :l'image d'un élément doit être un élément

Posté par
robby3re : permutation et cycle 30-05-24 à 21:26

Carpediem > Puis-je alors écrire que :

\\ \sigma (x_1...x_k)\sigma^{-1}(y_1)=\sigma(x_1...x_k)(x_1)=\sigma(x_2...x_k)=\sigma(x_2)=y_2

Posté par
carpediemre : permutation et cycle 30-05-24 à 21:39

en fait avec ta notation : (x_1, x_2, ..., x_k)(x_1) = x_2

donc

robby3 @ 30-05-2024 à 21:26

\\ \sigma (x_1...x_k)\sigma^{-1}(y_1) = \sigma(x_1...x_k)(x_1) = \cancel{\sigma(x_2...x_k)=}\sigma(x_2)=y_2
c'est pourquoi j'ai suggéré de noter \tau le cycle

Posté par
robby3re : permutation et cycle 30-05-24 à 21:41

ahhh oui d'accord !

Merci Carpediem !!

Posté par
carpediemre : permutation et cycle 31-05-24 à 08:43

de rien


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