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Niveau Maths sup
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petit complexe

Posté par rosanna (invité) 07-09-04 à 21:01

voila je recommence a faire des complexes (pas sur moi) en MATH, mais je me rend compte que je ne sais plus comment on fait. c'est assez ennuyeux surtout que ca a l'air assez facile a premiere vue. comment faire ? :

resoudre dans l'equation :
(z+1/z-1)n=ei

voila si cette equation parle à quelqu'un ...

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : petit complexe 08-09-04 à 09:37

Je suppose qu'il s'agit de:

[(z+1)/(z-1)]^n=e^(ia)

(z+1)/(z-1)=e^(ia/n)
(z+1)/(z-1)= cos(a/n)+i.sin(a/n)
z+1 = z(cos(a/n)+i.sin(a/n)) - cos(a/n)-i.sin(a/n)
z(1-cos(a/n)-i.sin(a/n)) = -1 - cos(a/n)-i.sin(a/n)
z=(-1 - cos(a/n)-i.sin(a/n))/(1 - cos(a/n)-i.sin(a/n))

On multiplie numérateur et dénominateur par:
(1 - cos(a/n) +i.sin(a/n))
On trouve:
z = -2i.sin(a/n) / (2(1-cos(a/n))

4$ z\ =\ \frac{-i.sin(\frac{a}{n})}{1-cos(\frac{a}{n})}
-----
Sauf distraction.  

Posté par
dad97 Correcteur
re : petit complexe 08-09-04 à 09:51

Bonjour Rosanna,

Je ne t'assures pas que ce que je vais te proposé est juste mais cela peut être une piste vu que cela n'a pas l'air d'inspirer grand monde :

(z+1/z-1)n=ei

bon déjà z ne peut être égal à 1

si y a boulette ce sera sans doute à la ligne ci-dessous :

on a alors \frac{z+1}{z-1}=e(i/n+2k/n) où k entier

on rassemble les termes en z dans cette équation :

z=(1+ei/n+2k/n)/(ei/n+2k/n-1)

on factorise en haut et en bas de la fraction par ei/2n+k/n on alors

z=[e-i/2n-k/n+ei/2n+k/n]/[ei/2n+k/n-e-i/2n-k/n]

d'où z=cos(/n+k/n)/[isin(/n+k/n)]

d'où z=-i/tan(/n+k/n)

où k entier.

Je ne garantis pas la justesse de ce raisonnement.

Salut

Posté par
dad97 Correcteur
re : petit complexe 08-09-04 à 10:03

On se rassure tout de suite :

on a bien 1/tan(x/2)=sin(x)/(1-cos(x))

et donc mis à part que j'ai fait intervenir la 2pi périodicité de la fonction qui à x associe eix (d'où la présence de mon k) les deux résultats sont similaires.

Salut

P.S.: Il suffit que je me penche sur un problème "vieux" (le problème n'était pas en première page) pour que je me fasse grillé à 14 minutes près )

Posté par
dad97 Correcteur
re : petit complexe 08-09-04 à 10:07

oh boulette entre le passage de la 6ème ligne à la cinquième ligne avant la fin de mon post initial il fallait lire :

d'où z=cos(/2n+k/n)/[isin(/2n+k/n)]

d'où z=-i/tan(/2n+k/n)

Salut

Posté par rosanna (invité)re : petit complexe 08-09-04 à 14:22

merci dad97 et J-P
maintenant je ne devrais plus avoir de pb face a un exercice de ce type

Posté par rosanna (invité)re : petit complexe 09-09-04 à 18:17

c'est bon je l'ai refait et j'arrive au meme resultat que toi z=(-i)cotan(/2n)
pas la peine de mettre +2k car c'est définie sur [0;2[

mais maintenant je pensais pouvoir me débrouiller avec ca pour la suite mais il s'avère que non.
en effet on me demande maintenant, grace au resultat trouver de résoudre cette fois ci :

[(z+1)/(z-1)]^n+[(z-1)/(z+1)]^n=2cos

moi je veux bien en faisant exp[i]+exp[-i]=2cos

mais je ne pense pas que ce soit ca qui soit demander. je pense que l'on doit utiliser
z=(-i)cotan(/2n) pour resoudre l'équation mais je ne vois pas comment ???  


dad97 est ce que tu as une idée ?

Posté par
dad97 Correcteur
re : petit complexe 09-09-04 à 21:04

Rebonjour,

Tu a écris :

pas la peine de mettre +2k car c'est définie sur [0;2[

Euh là je ne suis pas tout à fait d'accord car si [2] on obtient un polynome complexe de degré n (au passage la solution avec la cotangente n'est valable que si theta et bien différent de 2kpi) qui, il doit y avoir un théorème post bac (théorème de d'alembert-gauss il me semble) qui nous affirme qu'un tel polynôme doit avoir nécessairement n racines distinctes ou non alors se limiter à -i/cotan(theta/2n) n'est pas raisonnable.

Pour ce qui est du reste du problème :

on ne peut poser [(z-1)/(z+1)]n=ei

pourquoi bien il suffit de calculer le module de chaque coté de cette égalité et de s'apercevoir qu'on restreint l'ensemble des complexes à iR et donc en utilisant cela on ne peut trouver que les solutions imaginaires purs (si il y en a, j'ai pas regardé).

Par contre pour le problème je suis désolé mais je ne vois vraiment pas comment faire


Salut




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