salut à tous,j'ais un petit soucis pour montrer que:
(k allant de 1 à n)|X_{[/sub]k-X[sub]}(k-1)
(de 1 à n)(1/x)dx.

Je sais qu'il faut utiliser le fait que cette somme est une suite de cauchy,c'est une suite dite à variation bornée,mais je ne parviens pas à mettre en relation les informations que j'ais pour prouver cette inégalité.
Merci d'avance de votre aide.

*** message déplacé ***

desolé j'ais oublié de fermer la valeur absolu avant le sup ou egale.Veuiller m'excuser,je t'acherais de faire attention la prochaine fois.

*** message déplacé ***

Bonjour robby3;
C'est quoi ?

*** message déplacé ***

ta somme est une somme simplifiable :
  (k allant de 1 à n)|Xk-X(k-1) = Xn - X0

et (de 1 à n)(1/x)dx = ln (n)


or Xn toujours superieur a ln(n) a partir d'un certain moment donc je pense que tu peux dire que Xn ln(n) + X0
donc Xn -X0 ln(n)
et donc tu as bien ce que tu voulais (enfin si g bien compris tes notations ...)
dit moi si il y a un probleme .
a bientot

salut et déja merci de vos reponses,en fait pour repondre à elhor_abdelali, Xk est une suite definie par:
X1=0 et pour tout k>0 X(k+1)=((-1)^k)/k +Xk.
Désolé j'aurais peut etre du le mettre avant.
Voila l'enoncé est complé.
merci de votre reflexion.

Bonjour robby3;
Il subsiste un petit probléme : le n'est pas défini alors qu'il figure dans la somme
Sauf erreur de ma part...

rebonjour et mile fois désolé elhor_abdelali la somme commence à pour k=2 j'ais fait une erreur ds l'enoncé de mon probleme.
Ce qui fait que ma somme comme le dit guillaum est reduite à Xn-X1(je ne comprends pas son raisonnement puisque la valeur absolue d'une somme n'est pas la somme des valeurs absolues ?!) or X1=0 donc ma somme se reduirais à Xn ce qui me semble tout bonnement impossible.
Merci d'avance de vos explications.

Oui je crois que maintenant l'énoncé est juste et on a alors:

et il suffit de remarquer vu la décroissance de la fonction que pour conclure que
Sauf erreurs bien entendu

salut elor_abdelali et vraiment un grand chapeau à toi,presentation,calcule tout est parfait et ce n'est pas la premiere fois que tu m'aide je crois.
Vraiment un grand merci à toi,qd on voit ce genre de demonstration ou de reponse à un tel exercice,c'est la que je me dis que j'aime bien les maths.
Merci à toi et à bientot.

A ton service robby3.
elhor

salut à tous,j'ais encore un petit soucis,savez comment montre ton que la somme defini plus haut est une suite de cauchy en sachant que l'on a defini cette somme comme inferieure à un nombre C(sans precision)
d'aprés le definition d'une suite de cauchy,il faut que quelque soit >0,|Un-Um|<

ici il faudrait que C soit positif mais il n'y a aucune indication à ce sujet.
de maniere generale,je voudrais savoir comment on fait pour montrer qu'une suite est de cauchy:si l'on revient à la definition,si on montre qu'elle converge et on dit que toute suite convergente est de cauchy...

Merci de vos reponses

Bonjour,

Je ne comprends pas bien.
La "somme définie plus haut" est-elle : ?

Dans ce cas, elle ne me semble pas de Cauchy, puisque non convergente :
avec

Mais quelque chose m'a probablement échappé...

Nicolas

salut Nicolas_75,voici l'énoncé complet:
on dit que la suite réelle (Xn)est à variation bornée s'il existe un nombre C tel que pour tout entier n2

|X2-X1|+|X3-X2|....+|Xn-Xn-1|C

1)a-montrer que la suite Sn defini par Sn=(k=2 à n) |Xk-Xk-1| est une suite de cauchy.

b- en deduire qu'une suite à variation bornée converge(pour cette question,si Sn est de cauchy,alors elle converge donc une suite à variation bornée converge).

voila,la somme est bien celle définie plus haut comme tu la souligné.
Merci d'avance.

Si on a bien alors il me semble que n'est pas convergente, donc n'est pas une suite de Cauchy. Cf. 06h02. Qu'en penses-tu ?

rebonjour à toi Nicolas_75 j'ais bel et bien l'impression qu'elle est pas convergente,je pensais mettre planté mais le probleme c'est qu'il dise "montrer que .....est une suite de cauchy".Alors soit on s'est planté tout les deux soit il ya une erreur dans l'enoncé,pourtant je l'ais retrancrit tel quel.
mais attention car la suite  Sn n'a rien avoir avec le fait que Xk+1=(-1)^k/k + Xk,car la on definit une autre suite (Xk)k, c'est dans la question 2 que l'on parle de cette suite,alors que la on parle simplement de la somme pour k allant de 2 à n de |Xk-Xk-1|.

voila,si tu n'a pas tout compris je peux reexpliquer s'il le faut mais j'insiste juste sur le fait que dans cette question(sur la suite de cauchy),on n'a aucune indication concernant cette somme si ce n'est qu'elle est inferieur ou egale à C(un nombre).
Merci quand meme beaucoup.

"mais attention car la suite Sn n'a rien avoir avec le fait que Xk+1=(-1)^k/k + Xk,car la on definit une autre suite (Xk)k, c'est dans la question 2 que l'on parle de cette suite,alors que la on parle simplement de la somme pour k allant de 2 à n de |Xk-Xk-1|."

Je ne comprends pas ce que tu dis. Tu parles d'une "autre suite" (Xk), mais, dans les échanges ci-dessous, tu ne parles que d'une seule : .

Pour ma part, je suis tout à fait prêt à t'aider, mais à la seule condition que tu postes ton énoncé complet, depuis la première lettre jusqu'à la question qui pose problème (et même les suivantes, car cela peut donner des indications).

Nicolas

ok d'accord Nicolas_75,bon vraiment désolé pour la qualité de redaction,voici mon enoncé au complet:

On dit que la suite réelle (Xn) est à variation bornée s'il existe un nombre C tel que pour tout entier n2
                    |X2-X1|+|X3-X2|...+|Xn-Xn-1|C

1)a-Montrer que la suite
Sn=(k=2 à n)|Xk-Xk-1| est une suite de cauchy.
b-En deduire qu'une suite à variation bornée converge.

2)On considere la suite (Xk)k definie par:
X1=0 et k>0  X(k+1)=((-1)^k)/k + X(k)
a-Montrer que
|X2-X1|+|X3-X2|+...+|Xn-X(n-1)|(1àn)de 1/x dx

Qu'en deduisez vous pour (Xk)k?
b-etudier (X2k)k et (X(2k+1))k
c-Montrer qu'elles sont adjacentes.
d-Qu'en deduisez vous pour (Xk)k?
e-Qu'avez vous montré dans cette question.

voila l'enoncé est complet.La question 2)a est deja traité,la question 1)b se deduit de la 1)a.
MERCI d'avance de votre aide.

Maintenant, c'est clair !

En 1), il faut montrer, en toute généralité, qu'une suite à variation bornée est de Cauchy, donc converge.

En 2), il faut montrer que cet exemple précis
a. n'est pas de variation bornée
d. converge (j'imagine)

Si c'est ainsi, on aura montré :
variation bornée converge
converge variation bornée

Pour 1), il me semble un peu artificiel de passer par Cauchy pour montrer la convergence. Sauf erreur, (Sn) est croissante majorée.

merci Nicolas_75,pour la 1)a- j'ais dit que (Sn) était croissante et majorée donc convergente,et comme toute suite réelle convergente est de cauchy,(Sn) est de cauchy.
De ce fait, pour la 1)b-,comme l'enoncé définie (Sn) comme une suite à variation bornée et que (Sn) est de cauchy,j'en déduis qu'une suite à variation bornée converge.
Pour la 2)a-,j'ais suivi les conseils d'elhor_abdelali,par contre on sait quelque chose sur la somme de la suite mais rien sur la suite elle-meme,on sait que X(k+1)-Xk=(-1)^k/k
et la en fait je voudrait savoir si l'on peut utiliser un corollaire du theoreme d'Abel qui dit que:"Si (Un)=((-1)^n).e(n) et si e(n) decroit vers 0,alors la série de terme general Un converge".

Voila,merci d'avance de vos reponses.

Tout d'abord, j'espère que tu as bien réalisé que la suite est facile à exprimer :

2)a)

Donc... la suite n'est pas à variation bornée.
A mon avis, aucune autre conclusion n'est attendue pour cette question.

pour la 2)b- j'ais etudié (X2k)k et (X(2k+1))k,la premiere est croissant, la deuxieme decroissante:

j'ais obtenu X(2k+1)-X(2k)=1/2k j'en ais deduit que ces deux sous-suites sont adjacentes car limite de 1/2k k étant positif est egale à 0.
Cependant,on me demande d'en deduire quelque chose pour (Xk)k,et la je ne sais pas trop car je connais bien le theoreme qui dit que si une suite Un converge vers l alors les suites extraites de Un converge vers la meme limite mais la reciproque est-elle vrai?Je ne crois pas.
En plus si je suis le conseil de Nicolas_75, ma suite (Xk)k serait sensé etre convergente mais dans la derniere question on me demande de dire ce que j'aurais demontré dans cet exercice,et la ce que je demontre c'est qu'une suite à variation non bornée converge vers 0?!!
Je suis pas du out sur de mon raisonnement,alors j'espere que vous pourrez une nouvelle fois m'aider.
MERCI.

a) Pour conclure que les suites sont adjacentes, n'oublie pas de montrer que l'une est inférieure à l'autre.

b) Tu sais donc que X(2k) et X(2k+1) convergent vers la même limite. Donc X(n) converge. (C'est trivial à démontrer.)

c) Donc X(n) est convergente (mais pas vers 0 !), mais n'est pas à variation bornée. Cf. fin de mon message de 11h15.

"et la ce que je demontre c'est qu'une suite à variation non bornée converge vers 0?"
Bien sûr que non.
Tu as montré qu'il existe une suite convergente qui n'est pas à variation bornée.
Cf. fin de mon message de 11h15.