Bonjour

Pour qu'une fonction soit paire ou impaire, il faut que son ensemble de définition soit symétrique par rapport à 0. Ainsi si ce n'est pas le cas, on peut directement conclure que la fonction n'est ni paire ni impaire.

Si l'ensemble de définition est R, il est symétrique par rapport à 0. Mais ça ne veut pas dire que la fonction est paire ou impaire étant donné que c'est une condition nécessaire mais pas suffisante. Il faut donc adopter la deuxième méthode après.

Merci beaucoup.

Mais juste une petite précision, par ensemble de définition symétrique par rapport à 0, c'est soit par rapport à l'origine(si f est impaire), soit par rapport à l'axe des ordonnées(si f est paire)? Mais le 0 doit-il être compris dans l'ensemble de définition. Est-ce qu'il est possible d'avoir une fonction avec un DF=* qui serait paire ou impaire ? ou bien le fait que l'on ne peut prendre le zéro d'une fonction l'empêche d'être symétrique.

Et si l'ensemble de Définition est dans le style de ]- ;-2]U[2 ;+[ Puis-je en déduire que la fonction est paire, sans mettre les x ?

... pardon j'ai oublié de relire, dans ma dernière phrase, je disais mettre les -x dans la fonction afin de savoir si celle-ci est paire, ou impaire.

Encore pardon et bonne après midi.

Bonjour,

Une fonction est paire si :
1) son ensemble de définition est symétrique par rapport à 0 [il n'est pas question d'axe ici]
2) pour tout x de l'ensemble de définition, f(-x) = f(x)

Une fonction est impaire si :
1) son ensemble de définition est symétrique par rapport à 0 [il n'est pas question d'axe ici]
2) pour tout x de l'ensemble de définition, f(-x) = -f(x)

Pour ton exemple de 14h52, 1) est vérifié. Ensuite il faut encore regarder les points 2)

Nicolas

Bonjour

alpha2020 : comme Nightmare et Nicolas_75 te l'ont expliqué, la symétrie de l'ensemble de définition par rapport à 0 est une condition nécessaire mais non suffisante pour avoir une fonction paire ou une fonction impaire.

Pour en revenir à ton post de 20:52, quelques exemples :

a) . D_f = ]- ;-2[U[2;+[.

L'ensemble de définition est symétrique par rapport à 0 ;
on examine alors la condition 2) qui n'est pas réalisée, que ce soit pour une fonction paire ou une fonction impaire.
Donc la fonction n'est ni paire ni impaire.

b) f .

L'ensemble de définition est symétrique par rapport à 0 ;
on examine alors la condition 2) : pour tout x dans Df on a f(-x)=f(x)
Donc f est paire.

c) . D_f = ]- ;-2[U]-2;2[U]2;+[

L'ensemble de définition est symétrique par rapport à 0 ;
on examine la condition 2) qui n'est pas réalisée.
Donc la fonction n'est ni paire ni impaire.

c)

Comme précédemment la première condition est réalisée.
On examine alors la seconde : pour tout x dans Df on a f(-x) = -f(x)
Donc f est impaire.

e) . D_f = ]-;4[U]4;+[
l'ensemble de définition n'est pas symétrique par rapport à 0 ; inutile alors d'examiner la seconde : f n'est ni paire ni impaire.

Sauf étourderie(s) qui pourront être corrigées par d'autres Mathîliens.

Regarde f(x) = 1/x non définie en 0 et pourtant elle est impaire on peut l'étudier sur les positifs et en déduire son comportement sur les négatifs
Sa courbe représentative est symétrique par rapport à O (0 ; 0)

Et g(x) = racine (x^2 - 4)
cherche son domaine de définition : pour que racine (x^2 - 4) existe il faut que

(x^2 - 4) >= 0 donc (x+2) (x-2) >=0

g est paire donc on peut l'etudier sur .... et en déduire son comprtement sur ....
Sa représentation graphique sera symétrique par rapport à l'axe des ordonnées

Voila, qui met un peu plus d'ordre dans mon petit esprit d'ignorants, merci et bonne soirée.