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petit DL

Posté par
severinette 08-05-08 à 21:42

Bonsoir , comment feriez vous , à l'ordre 3 pour calculer le DL de ln(sin x) ?

merci

Posté par
disdrometrere : petit DL 08-05-08 à 21:43

salut

DL en 0 ?

Posté par
Skopsre : petit DL 08-05-08 à 21:46

Comme celui de ln(cos(x))

Skops

Posté par
gui_toure : petit DL 08-05-08 à 21:46

Salut sév, salut Jolly

En 0 il n'admet de DL

Posté par
severinettere : petit DL 08-05-08 à 21:46

oui , car j'ai fait ln(x-x³/6+x³E(x)) mais ça n'amène pas au modèle ln(1+x) malheuresement...

Posté par
severinettere : petit DL 08-05-08 à 21:47

salut gui et skops , avec ln(cos x) c'etait facile on avait directement le 1 , ici non

Posté par
gui_toure : petit DL 08-05-08 à 21:47

Normal, en 0 sin(x)=0+o(1) et comme ln(t) tend vers -00 en 0 ...

Posté par
disdrometrere : petit DL 08-05-08 à 21:49

salut Skops et Lucky..

si ce n'est pas un DL donc c'est un DA en 0 ..

Posté par
severinettere : petit DL 08-05-08 à 21:49

comment je fais alors ?

Posté par
Skopsre : petit DL 08-05-08 à 21:49

Faut factoriser par x

Skops

Posté par
gui_toure : petit DL 08-05-08 à 21:50

Tu fais pas

Posté par
severinettere : petit DL 08-05-08 à 21:51

si je factorise par x , ça me fait :

ln(x) + ln(1-x²/6+x²E(x)) , je me retrouve tjs avec ce ln(x) qui fonce vers - l'inifni vu que x tend vers 0 ...

Posté par
Skopsre : petit DL 08-05-08 à 21:59

Vu qu'il faut faire un DA, pose x=1/t

Skops

Posté par
severinettere : petit DL 08-05-08 à 22:00

ça veut dire quoi DA ?

Posté par
Skopsre : petit DL 08-05-08 à 22:03

Développement asymptotique

Skops

Posté par
severinettere : petit DL 08-05-08 à 22:05

tu m'as dit de factoriser par x :

ln(x) + ln(1 - x²/6 + x² E(x))

et maintenant je pose x = 1/t ? ça sert à rien pour le second terme et pour le 1er ça fausse carrément le truc , donc je comprends rien skops aide moi

Posté par
Skopsre : petit DL 08-05-08 à 22:07

Premièrement : Dis moi où doit on faire le DL

Skops

Posté par
severinettere : petit DL 08-05-08 à 22:10

en 0 , comme d'hab

Posté par
Skopsre : petit DL 08-05-08 à 22:11

Ca va pas marcher à cause du ln qui n'est pas défini en 0

Skops

Posté par
severinettere : petit DL 08-05-08 à 22:13

donc impossible de calculer le dl de ln(sin x) en 0 ?

Posté par
Skopsre : petit DL 08-05-08 à 22:16

Non

Skops

Posté par
severinettere : petit DL 08-05-08 à 22:19

et si je voulais le DL en 1 par exemple....

Posté par
gui_toure : petit DL 08-05-08 à 22:21

¤ tu fais le DL de sin(x) en 1 à l'ordre 3

ou

¤ tu fais le DL de la dérivée de ln(sin(x)) en 1, puis tu intègres...

sauf erreur

Posté par
severinettere : petit DL 08-05-08 à 22:23

ok , et bien merci les gars pour vos réponses tjs instructives , combien avez vous fait de DL pour vous sentir à l'aise ?

Posté par
gui_toure : petit DL 12-05-08 à 12:49

3$\fbox{\rm{DL de \ell n\(\sin(}x\rm{)\) en 1 a l'ordre 3

¤ On calcule le DL de 3$\sin(x) en 1 à l'ordre 3

Par le changement de variable 3$\fbox{t=x-1}\;(t\to0), il vient

3$\sin(x)\,=\,\sin(t+1)\,=\,\sin(t)\cos(1)+\cos(t)\sin(1)\,=\,\cos(1).\(t-\fr{t^3}{6}+o(t^3)\)+\sin(1).\(1-\fr{t^2}{2}+o(t^3)\)

En développant, il vient alors :

3$\sin(x)\,=\,\sin(1)+\cos(1).t-\sin(1).\fr{t^2}{2}-\sin(1).\fr{t^3}{6}+o(t^3)

soit encore, en remplaçant t par x-1 :

3$\fbox{\sin(x)\,=\,\sin(1)+\cos(1).(x-1)-\sin(1).\fr{(x-1)^2}{2}-\cos(1).\fr{(x-1)^3}{6}+o(x^3)

Maintenant on compose par le logarithme :

3$\fbox{\ell n\(\sin(x)\)\,=\,\ell n\[\sin(1)+\cos(1).(x-1)-\sin(1).\fr{(x-1)^2}{2}-\cos(1).\fr{(x-1)^3}{6}+o(x^3)\]

Il est alors plus judicieux de revenir à notre bon vieux t, variable qui tend vers 0.
On met ainsi 3$\sin(1) en facteur, de sorte à faire apparaître du 3$\rm\ell n(1+X)


3$\ell n\(\sin(x)\)\,=\,\ell n\[\sin(1)+\cos(1)t-\sin(1).\fr{t^2}{2}-\cos(1).\fr{t^3}{6}+o(t^3)\] \\ \ell n\(\sin(x)\)\,=\,\ell n\[\sin(1)\(1+\fr{\cos(1)}{\sin(1)}t+\fr{t^2}{2}-\fr{\cos(1)}{\sin(1)}\fr{t^3}{6}+o(t^3)\)\]

ie :

3$\ell n\(\sin(x)\)\,=\,\ell n(\sin(1))\,+\,\ell n\[1\,+\,\rm{cotan}(1).t\,+\,\fr12t^2\,-\,\fr{\rm{cotan}(1)}{6}t^3\,+\,o(t^3)\]

Et là on retrousse les manches

On calcule le DL en 0 à l'ordre 3 de 3$\rm \ell n(1+X) avec 3$\rm X\,=\,1\,+\,\rm{cotan}(1).t\,+\,\fr12t^2\,-\,\fr{\rm{cotan}(1)}{6}t^3\,+\,o(t^3)

3$\rm\ell n(1+X)=X-\fr12X^2+\fr13X^3+o(X^3)

soit ()

3$\rm\ell n(1+X)=\[1\,+\,\rm{cotan}(1).t\,+\,\fr12t^2\,-\,\fr{\rm{cotan}(1)}{6}t^3\,+\,o(t^3)\] \\ -\fr12\[1\,+\,\rm{cotan}(1).t\,+\,\fr12t^2\,-\,\fr{\rm{cotan}(1)}{6}t^3\,+\,o(t^3)\]^2 \\ +\fr13\[1\,+\,\rm{cotan}(1).t\,+\,\fr12t^2\,-\,\fr{\rm{cotan}(1)}{6}t^3\,+\,o(t^3)\]^3+o(t^3)

Bon là j'ai la flemme de développer, mais à en croire Maple :

3$\rm \ell n(1+X)\,=\,cotan(1)(x-1)\,-\,\fr12\(1+cotan^2(1)\)(x-1)^2\,+\,\fr13cotan(1)\(1+cotan^2(1)\)(x-1)^3+o(x^3)

D'où finalement :

3$\red\fbox{ \ell n(\sin(x))\,=\,\ell n(\sin(1))\,+\,\rm{cotan(1)}(x-1)\,-\,\fr12\(1+\rm{cotan^2(1)}\)(x-1)^2\,+\,\fr13\rm{cotan(1)}\(1+\rm{cotan^2(1)}\)(x-1)^3+o(x^3)


SAUF ERREUR !



Je vais manger et je m'attaque à la deuxième méthode.

Posté par
gui_toure : petit DL 12-05-08 à 13:31

Après correction,

4$\red\fbox{%20\ell%20n(\sin(x))\,=\,\ell%20n(\sin(1))\,+\,\rm{cotan(1)}(x-1)\,-\,\fr{1}{2.\sin^2(1)}(x-1)^2\,+\,\fr{\cos(1)}{3.\sin^3(1)}(x-1)^3\,+\,o(x^3)

Posté par
gui_toure : petit DL 12-05-08 à 13:51

3$\fbox{\rm{DL%20de%20\ell%20n\(\sin(}x\rm{)\)%20en%201%20a%20l'ordre%203 : Methode > integration

Soit 3$f(x)=\ell n(\sin x) la fonction définie au voisinage de 1.

f est dérivable et 3$f'(x)={4$\fr{\cos x}{\sin x}

f' admet un DL en 1 à l'ordre 3, et il vient avec le changement de variable 3$\fbox{t=x-1

3$f'(x)={4$\fr{\cos(t+1)}{sin(t+1)}=\fr{\cos(1)\cos(t)\,-\,\sin(1)\sin(t)}{\cos(1)\sin(t)\,+\,\sin(1)\cos(t)

Or :

3$\sin(t+1)\,=\,\sin(1)+\cos(1).t-\sin(1).\fr{t^2}{2}-\cos(1).\fr{t^3}{6}+o(t^3)

et

3$\cos(t+1)\,=\,\cos(1)-\sin(1).t-\cos(1).\fr{t^2}{2}+\sin(1).\fr{t^3}{6}+o(t^3)

donne :

3$f'(x)={4$\fr{\cos(1)-\sin(1).t-\cos(1).\fr{t^2}{2}+\sin(1).\fr{t^3}{6}+o(t^3)}{\sin(1)\(1+\fr{\cos(1)}{\sin(1)}t+\fr{t^2}{2}-\fr{\cos(1)}{\sin(1)}\fr{t^3}{6}+o(t^3)\)

3$f'(x)\,=\,\[\rm{cotan(1)}-t-\rm{cotan(1)}\fr{t^2}{2}+\fr{t^3}{6}+o(t^3)\]\;\times\;{4$\fr{1}{1+\rm{cotan(1)t+\fr{t^2}{2}-\rm{cotan(1)\fr{t^3}{6}+o(t^3)

Et la fomrmule 3$\rm\fr{1}{1+X}=1-X+X^3+o(X^3) conduit au résultat.

Sauf erreurs

Posté par
A-Zakre : petit DL 12-05-08 à 14:17

bonjour tu derai pas appliquer le theoreme de la composition?

Posté par
gui_toure : petit DL 12-05-08 à 14:17

salut

Où ça ? Et c'est quoi ce théorème ? ^^

Posté par
A-Zakre : petit DL 12-05-08 à 14:18

sin(0)=0 donc on peut appliquer ce theoreme:

Citation :
soit f et g deux fonctions ayant pour DL à l'ordre n au point 0
f(x)=P(x)+x^nE(x)
et
g(x)=Q(x)+x^nE(x)
Si g(0)=0, le DL de la fonction composée fog à l'ordre n en 0 est
(fog)(x)=T_n(PoQ)(x)+x^nE(x).

donc on pose:
h(x)=ln(x) et g(x)=sinx
g(0)=0;

*T_P : balise corrigée *

Posté par
gui_toure : petit DL 12-05-08 à 14:18

Arf j'ai oublié de préciser : 3$f(x)=f(1)+\Bigint_1^x f'(x)dx


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