Niveau Maths sup

Petit doute sur l'utilisation de Ker(f-lambda.Id)

Posté par
alexyuc 06-04-14 à 11:46

Bonjour,

Si l'on utilise, pour un endomorphisme de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}^2$ le fait que $Ker(f-\lambda Id)$ $0$

Alors ça veut dire que { $u/f(u)=\lambda u$ } $(0,0)$

C'est à dire que $u=(0,0)$ ne vérifie pas $f(u)=\lambda u$

Est-ce juste ?

Merci beaucoup !

Posté par re : Petit doute sur l'utilisation de Ker(f-lambda.Id) 06-04-14 à 11:53

Bonjour,

non... $Ker(f-\lambda Id) \neq 0$ signifie qu'il existe $u \neq (0,0)$ tel que $f(u) = \lambda u$ . Notons de plus que si $u=(0,0)$ alors $f(u) = \lambda u$ pour tout $\lambda$ et donc la notion de valeur propre ne serait plus très intéressante si on n'exigeait pas de $u$ d'être différent de $0$ .

Posté par re : Petit doute sur l'utilisation de Ker(f-lambda.Id) 06-04-14 à 12:19

Ah d'accord, donc les deux assertions suivantes sont vraies :

$Ker(f-\lambda Id) \neq 0 \Leftrightarrow \exists u \in \mathbb{R}^2 , u \neq (0,0)$ tel que $f(u)=\lambda u$

$Ker(f-\lambda Id) \neq 0 \Rightarrow \exists u \in \mathbb{R}^2$ tel que $f(u)=\lambda u$

En revanche celle-ci est fausse :

$\exists u \in \mathbb{R}^2$ tel que $f(u)=\lambda u \Rightarrow Ker(f-\lambda Id) \neq 0$

Posté par re : Petit doute sur l'utilisation de Ker(f-lambda.Id) 06-04-14 à 12:22

bonjour
si tu ajoutes après "il existe u dans R^2" : "avec u différent de (0,0)", elle devient vraie

et le 0 que tu écris pour Ker(f - lambdaI), ce n'est ni 0, ni (0,0), mais bien{(0,0)}...

Posté par re : Petit doute sur l'utilisation de Ker(f-lambda.Id) 06-04-14 à 12:39

Oui je suis bien d'accord pour le 0, c'est $0_{\mathbb{R}^2}$ dans une autre notation.

Si j'ajoute "avec u différent de (0,0) à la dernière proposition, c'est celle que j'ai écrit au-dessus avec l'équivalence.

J'ai compris alors, merci beaucoup

Bonne journée.

Posté par re : Petit doute sur l'utilisation de Ker(f-lambda.Id) 06-04-14 à 12:41

attention, $O_{\mathbb{R}^2} \neq \left\{O_{\mathbb{R}^2}\right\}$

Ker (blabla) est un ensemble, pas un vecteur.

Posté par re : Petit doute sur l'utilisation de Ker(f-lambda.Id) 06-04-14 à 13:04

Oui, merci

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