Si A=E alors il y a n+1 possibilités pour B.
Si A=E moins un élément alors il y a (n+1)-1 possibilités pour B.
Si A=E moins deux éléments alors il y a (n+1)-3 possibilités pour B.
Si A=E moins trois éléments alors il y a (n+1)-7 possibilités pour B.
...
Si A=ensemble vide il y a (n+1)-n possibilité pour B.

Justin.

Choix de A : 2^n possibilités.

Une fois que A est choisi, il n'y a plus le choix pour B, c'est le complémentaire de A.

Donc la réponse est 2^n.

Pour les triplets A,B,C :

Disons qu'on a choisi A.

BuC est le complémentaire de A.

Notons k le cardinal de A. On cherche le nombre de parties B et C telles que BuC=complémentaire de A, qui a n-k éléments.

D'après la question précédente : 2^{n-k} possibilités pour les couples (B,C)

Comme il y a C(n,k) parties A de cardinal k, le résultat est :

stokastik, je ne sais pas si je suis d'accord avec toi.

Prenons l'exemple E={1,2,3,4}. Si A={1,2} alors B peut être {3,4}, {2,3,4}, {1,3,4} ou E donc B n'est pas forcément le complémenatire de A.

Justin : ah oui, en effet, j'oubliais la possibilité de l'ensemble vide !
Mais alors, comment compte-t-on le total des possibilités?

Stokastik : B n'est pas forcément le complémentaire de A il me semble, ce peut être le complémentaire de A + une partie de A. Ce qui ferait plus que 2ⁿ posssibilités...

Ah en effet j'avais en tête une union disjointe...

Alors fixons k entre 0 et n.

Choix d'une partie A à k éléments : C(n,k)

Choix de B qui contient complémentaire de A : on choisit les éléments de B qui sont aussi dans A, autrement dit on choisit une partie de A : 2^{k} choix possibles

Donc on trouve

Pour les triplets (A,B,C) on fait le même raisonnement que quand je me suis trompé et on trouve 4^n.

ah non pardon pas sûr pour (A,B,C)

Je vous laisse y réfélchir

Stokastik, je n'arrive pas à passer de la somme que tu as écrite au résultat 3ⁿ !
Je ne vois pas quelle formule utiliser en particulier pour y parvenir.

Binôme de Newton (2+1)^n

Et le C^k_n il est passé où? Désolé de ne pas comprendre ce calcul, mais je dois avoir un sacré problème avec la manipulation de ces expressions.

Binôme de Newton  : (a+b)^n=...?

Ah, tu vas rire, mais j'avais complétement oublié que le C^k_n se trouvait dans la somme du binôme !
Je fus un boulet sur ce coup là XD.
Désolé, mais vraiment désolé pour ma question TRES stupide...

bonsoir,
on cherche un triplet (A,B,C) de parties de E tel que ABC=E
a) on choisit A une partie de E de cardinal p   0pn (il y en a C_n^p)
si A' est le complémentaire de A dans E card(A')=n-p d'aprés la question précédente il y a 3^n-pcouples (B,C) de parties de A' telles que BC=A'
si(B,C) est un couple 'favorable' tout couple (XB,YC) avec Xet Y parties de A est encore 'favorable'or il y a 2^pchoix pour X et2^{p por Y}
donc sauf erreur de ma part pour A de cardinal p il y a 2^2p3^n-pcouples (B,C) 'favorables'
le nombre de triplets répondant à la question serait donc(de p=0àn)C_n^p2^2p3^n-p=3ⁿ(1+4/3)ⁿ=7ⁿ
??????