Euh faite on a un peu dévié de l'exercice, on veut montrer que n'est pas compact avec les recouvrements. En considérant un recouvrement dont on peut pas extraire un sous-recouvrement fini, on arrive au résultat.
otto essaie de m'expliquer pour les forment effectivement un recouvrement de .

bon j'ai pas compris,je laisse.

Par contre j'ai relus un peu ta démo.
J'ai pas compris deux truc :
comment tu définit les n_i (c'est le rang à partir duquel les x_n sont dans le voisinage de x ?(convergence)
Pourquoi diam({xni})=0 ?

1)oui,on peut dire ça comme ça je pense.
2)le diam c'est quoi?...

En faite j'ai pas compris pourquoi on a cette inclusion!
Le diam ?
?

oué c'est bien ça le diametre...
l'inclusion pour moi ça vient de la convergence de xn vers x c'est tout...

Mais je vois pas trop en faite, car les pour un certain rang , est dans ok.
Ensuite tu définis apparement les comme étant les rangs à partir duquel appartient à tout voisinage de . Donc pour , est aussi dans .

Il peut exister des telle que ne soit ni dans la boule ni dans les singleton non

*lire
Donc pour plus grand que , ...

En faite si on a :


Ca signifie que si on prend un alors .
Si alors ok.
Si , pour un certain rang N je suis d'accord que car converge vers .
Mais pour le reste
Il faut que tu m'explique clairement comment tu définis les stp

je sais pas comment te le dire?!
les xni doivent se balader dans P(une partie infinie de N){1,2,...N-1}

ou le grand N c'est celui dont tu as parlé...
je sais pas comment te le dire la!

Ok je comment à comprendre.
Mais pourquoi le fait que diam=0 ça nous donne la compacité de l'ensemble ?

effectivement,j'ai juste montrer la précompacité,il faut rejouter la démo de la complétude...c'estu npeu plus long...

je pense que l'idée de otto était plus courte!

lol, je vais reformuler ma question :
Mais pourquoi le fait que diam=0 ça nous donne la précompacité de l'ensemble ?

c'est la définition de précompact!!

tu peux me donner la définition de la précompacité que tu as ??

le cours tu la manger aprés l'avoir appris ou quoi

Soit (E,d) un esp.metrique
E complet si pour tout epsilon >0 il existe un recouvrement fini de E par des parties de E finis de diametre inferieur à epsilon.

lol, je crois que je mélange tout bien comme il faut pas !
Moi j'ai ça :
précompact , tq ??

oui tu as ça aussi mais si tu regarde bien c'est un peu pareil...

je comprend pas le coup du diamètre plus petit que e

Ah ouais ok ...
pff!

ok bon bah vu qu'il faut rajouter la complétude, mon truc sert à rien parce que la complétude c'est un peu compliqué je crois...
donc bah moi je vais aller revoir qulques autres trucs et puis voila.
Bonne fin de soirée et à lundi prochain 17h

t'attend pas perroquet ?
je vais poster d'autres exos je crois.

bon sinon, otto si tu repasse par la et que tu puisse m'expliquer comment faire un dessin ?

non j'attend pas, je prefere voir autre chose(connexes...applications continues...et l'algebre aussi)
la topo j'en ai fait tout aujourdhui à la BU,la j'en ai marre!

Tu ne sais pas faire un dessin?

Tu dessines une ligne droite, tu y places les points 1,1/2,1/3, etc

et tu dessines les boules B_1, B_2, B_3 etc et tu regardes ce qui se passe.


Un peu d'initiative ...

re otto, j'espere mettre fin à ceci
je pense avoir trouver une idée mais je sais pas si c'est vraiment correct:



voila j'espere que c'est correct.

Salut robby,
en fait, on a déjà résolu la compacité de cet ensemble il y'a un bon bout de temps.

Je veux montrer à H_aldnoer que si on enlève la limite, l'ensemble n'est plus compact (sauf si la limite est atteinte au moins une fois par un certain x_n, mais peu importe).

Ceci car il voulait utiliser le fait que {x} était compact, que l'ensemble des points de la suite l'étaient, et donc que leur union l'était et je lui disais que c'était faux.

Et nous travaillons dans le cas particulier x_n=1/n.

a+

OK!


bon bah a+ alors,bonne journée à toi otto.

J'ai essayé un dessin, est-ce que ?

Je ne vois pas bien comme ce serait possible, un ensemble est dénombrable et pas l'autre.

Peut être que j'aurais du disjoindre la définition de B_1 et des autres boules, parce que je fais référence à 1/(n-1). Alors laissons B_1 de coté pour l'instant.


B_2=B(1/2,1/6)

B_3=B(1/3,1/16)

B_4=B(1/4,1/30)

etc.


Pour B_1, on n'a qu'à choisir B_1=B(1,1/6) par exemple.

Est-ce que tu vois ce qui se passe?
Sinon fais un dessin, tout sera plus clair.

Sur mon dessin :
j'ai placé les points 1, 1/2, 1/3, ... sur une droite.

Ces mêmes points sont les centres des boules, dont le rayon tend vers 0.

Et ces boules, comment se comportent elles, les unes par rapport aux autres ?

J'ai essayé de faire un dessin propre, on voit par exemple que les boules B₂ et B₃ ont une intersection non vide ; ça semble vrai pour chaques B_i, B_i+1.

Sauf erreur, je les ai construites pour que les intersections soient vides deux à deux.
En fait, dans le pire des cas, ca ne change pas grand chose à la démo, mais ça la simplifie.

Enfin, tu vois déjà que 1/n est dans B_n.

Donc l'union sur n des B_n, nous donne l'espace de départ, non? C'est trivial puisque le centre de la boule B_n est justement 1/n.
Ce que l'on essaie de montrer depuis un bout de temps déjà...

Je comprend plus rien, on parle d'union ? d'intersection ??

On cherchce ceci : ?
Pourquoi tu parle de ?
Et c'est quoi "l'espace de départ" ?

Je suis un peu découragé, je pense que tu ne sais pas du tout ce que tu cherches à faire, alors que ca fait 24h que l'on est dessus...

Moi je cherche à démontrer que n'est pas compact avec les recouvrements.
On prend par exemple .
De tout recouvrement de peut-on extraire un sous-recouvrement fini ?

Tu m'affirme que l'union des (défini plus haut) recouvre et j'essaye de comprendre pourquoi.

Donc on cherche bien à avoir des ouverts dont l'union contient cet ensemble non?

Alors pourquoi me demandes tu pourquoi on fait l'union?

Parce qu'après tu me demande quels sont les éléments de sont dans ?
Donc on part sur le calcul ensembliste de (j'ai toujours pas compris ce que ça vaut!)

Je suis d'accord que (c'est le centre des boules), mais qu'appelle tu l'espace de départ ?

Je te demandais ce que valait l'intersection, parce que c'est une autre manière de demander qui est dans B_n et dans l'espace de départ {1,1/2,1/3,....} et que tu n'étais pas capable de me répondre.

Donc 1/n est dans B_n.

Si on fait l'union (sur n) des B_n, on aura recouvert {1,1/2,1/3,...}, oui?

Bein oui! Car

Bien !

Ca fait un bout de temps que j'essaie de te faire dire ça.

Maintenant, si je ne me suis pas trompé dans mes définitions de B_n, si on enlève une seule boule dans cette union (disons juste pour l'exemple B_10), que peux tu dire ? Est ce que l'espace de départ {1,1/2,1/3,...} est toujours recouvert ?

Je pense que non, car on a plus l'inclusion.
Cad il existe un élément de qui n'est pas dans : .

Oui parce que par construction, chaque point de notre ensemble est dans une seule boule Bn.

Donc peut on extraire de (B_n) un sous recouvrement fini de notre ensemble?

Ok je vois!
Bein tu sais quoi, merci pour ta patience otto!
J'aurais jamais pensé à construire un tel ensemble !!

Il aura fallu être patient, mais tu as compris, c'est l'essentiel

C'est toujours la même chose, quand on veut montrer qu'il n'y a pas compacité avec les ouverts, il faut trouver un recouvrement qui ne possède aucun sous recouvrement fini.

Il y'a plusieurs autres possibilités:
-L'ensemble n'est clairement pas fermé, donc pas compact (un compact d'un espace métrique est fermé borné)
-L'ensemble n'est pas complet (un ensemble compact est complet et totalement borné)
-La suite x_n=1/n ne possède pas de sous suite convergente, puisque la seule valeur d'adhérence est 0, mais 0 n'est pas dans l'ensemble.

Evidemment, toutes ces propositions sont équivalentes, mais ce sont différents moyens de prouver que l'on a pas compacité.

a+