Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Petit exo
Bonjour, pouvez vous m'aider à partir de la question 3)b) je suis malheureusement bloqué
Notons E l'ensemble des fonctions phi de C²(R,R) qui vérifient pour tout R, phi''(x)=(1+x²)phi(x)
1) montrer que E est un espace vectoriel sur R
2) Montrer que si u et v sont 2 éléments de E, alors u'v-v'u est constante
3) f définie sur R par f(x)=e^(x²/2)
a) Vérifier que f est élément de E
b) g définie sur R par g(x)=f(x)int1/f(t)²dt,t,0,x
montrer que g est élément de E
4)a) Soit h solution de la propriété de départ. Montrer en utilisant le résultat de la deuxième question appliqué au fonction h et f, que h est combinaison linéaire de f et g.
b)Montrer finalement que (f,g) base de E
je suis bloqué à partir de la question 3)b) pouvez vous m'aider?
merci
tu derives:
g'(x)=f'(x)int(1/f(t))dt,t,o,x)+f(x)1/f(x)²
g'(x)=f'(x)int(1/f(t))dt,t,o,x)+1/f(x)
et
g''(x)=f''(x)int(1/f(t))dt,t,o,x)+f'(x)/f(x)²-f'(x)/f(x)²
g''(x)=f''(x)int(1/f(t))dt,t,o,x)
comme f est element de E tu as f''(x)=(1+x²)f(x)
donc
g''(x)=f(x)(1+x²)int(1/f(t))dt,t,o,x)=(1+x²)g(x)
voila en gros.
ca repose sur la derivation de l'integrale surtout...
A+
juste au cas ou:
si h(x)=int(f(t),t,0,x)
alors h'(x)=f(x)
en gros c'est ce qu'il faut appliquer...
bonsoir
) est un espace vectoriel et E
C^2(R,R)
Montrons que E est un sous espace vectoriel de C^2(R,R)
d'abord la fonction nulle est element de E donc E non vide
soit f,g element de E et a
alors af+g C^2(R,R) trivial...
et(af+g)"=af"+g" d'apres la linearité de la derivée
ainsi pour x de R, (af+g)"(x)=a)f(x
)g(x
af(x)+g(x))=(
af+g)(x)
donc af+g E donc E espace vectoriel sur R
soit U et V element de E
monrons que (U'V-UV')'= 0
U'V-UV' est derivable sur R car U et V element de(R,R)
Soit x element de R
(U'V-UV')'(x)= (U"V+U'V'-U'V'-UV")(x)=U"V-UV"(x)=(1+x^2)U(x)V(x)-(1+x)^2U(x)V(x) ( car U,V element de E)
d'ou
(U'V-UV')'(x)= [U(x)V(x)-U(x)V(x)]=0
donc
pour tout x de R (U'V-UV')'(x)= 0 donc (U'V-UV')(x)= cte
3)a) f est Cinfini sur R donc C^2
et
et )f(x)[/tex]
donc fE
3)b) g est derivable sur R en tant que produit de fct derivée
pour x element de R
g'(x)=f(x)*(1/f(x)^2)+f'(x)=
+f'(x)
=
et g' derivable sur R donc g element de
g"(x)=+f"(x)
+
=f"(x)
=(f(x)
(car f element de E)
=(1+)g(x)
donc g element de E
3c)
f et h sont element de E donc d'apres 2
h'f-hf'=cte
donc =
en integrant de 0 àx nous obtenons
-
=cte
donc h(x)= f(x)+ctef(x)
ainsi
h(x)=f(x)+cteg(x)
donc
h est combinaison lineaire de f et g
donc (f,g) est generatrice
4)b)montrons que f et g est libre
soient a,b elements de R tels que
pour x de R, af(x)+bg(x)=0
pour x=0
af(x)+bg(0)=0 or g(0)=0 et f(0)=1
donc a=0
et
pour x=1
bg(1)=0
or f(1)=
0 et
0 car f^2(t) strictement positive et continue
donc b=0
conclusion : (f,g) est generatrice et libre donc c'est une base de E
Annuler
connectez vous
analyse en post-bac