Bonsoir.
Même si ta fonction admet une limite finie quand x tend vers 0, elle n'est pas définie en x=0. Donc on ne peut même pas parler de dérivabilité.
On peut toujours envisager sa prolongation analytique en 0.
Alors le nombre dérivé en zéro est la limite, si elle existe de
C'est en cela que tu peux voir que cette limite n'existe pas.

L'aspect de la courbe au voisinage de zéro, suivi de l'aspect de

Dernière remarque : il existe une infinité de valeurs de x pour lesquelles |f(x)|=|x|
Ce sont celles pour lesquelles

merci dhalte pour toutes ces précisions .

Bonjour ;

La fonction (qui est impaire au passage) est clairement continue (et dérivable) sur .

De plus l'inégalité montre que donc est continue en et par suite sur tout entier.

Mais le taux d'accroissement de en , n'admet pas de limite finie en vu que ,
les deux suites et tendent toutes deux vers alors que les deux suites et ont des limites distinctes.

n'est donc pas dérivable en _{(sauf erreur bien entendu)}