Dans cet exercice, on propose de prouver que le nombre V2 n’est pas rationnel.
On utilise un raisonnement par l’absurde :
- On suppose que le nombre V2 est rationnel, il peut donc s’écrire sous la forme d’une fraction irréductible p / q (p et q nombres entiers bien sûr, q non nul).
- On sait que (V2)² = 2 donc (p / q)² = 2 c’est-à-dire p² / q² = 2.
Il faut donc étudier l’existence de p et de q tels que p² = 2q².

a) Prouver que si p et q existent, ils ne peuvent pas être tous les deux pairs.
b) On admet les propriétés suivantes :
« Le carré d’un nombre entier pair est un nombre pair. »
« Le carré d’un nombre entier impair est un nombre impair. »
Prouver alors que p est pair et q impair.
c) Montrer que le carré d’un nombre pair est un multiple de 4.
Déduire de ce qui précède l’impossibilité de l’existence de p et de q et donc que V2 n’est pas un nombre rationnel.