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petit soucis en 0 pour des sous-variétés?
Bonjour tout le monde,voilà, aprés qu'on m'est expliqué un truc,je n'arrive pas à le rédiger clairement ...
En fait je voulais montrer que V={(x,y)dans R²/ y=|x|}
et t->(t²,t3)
n'étaient pas des sous-variétés.
Et en fait quand j'ai répondu pour |x| y'a clairement un soucis,c'est pas différentiable en 0
(les différentielles directionnelles partent dans des sens différents)
pour l'autre 0 correspond à un point de rebroussement de 2eme espece non?
mais ça veut dire que localement en 0,ce ne sont pas des sous-variétés?
Mon probleme est alors le suivant:
"Il faut que je montre que cette non-différentiabilité de la fonction implique qu'on ne peux pas trouver de système de coordonnées cartésiennes de
dans lequel la courbe est localement un graphe lisse au voisinage de
.
Merci d'avance de vos explications.
Bonjour robby3 Ta V est homéomorphe à R donc c'est une variété! C'est bien vrai que ce n'est pas une sous-variété. Alors supposons qu'il existe F(x,y)=(f(x,y),g(x,y)) lisse au voisinage de (0,0) telle que g(x,|x|)=0 pour x voisin de 0. Alors pour x>0, tu as g(x,x)=0 et pour x<0, g(x,-x)=0. Débrouille-toi pour tirer de ça que les dérivées partielles de g en (0,0) sont nulles, ce qui fait une ligne nulle dans la jacobienne de F.
Bonjour Camélia,
on a bien que \rm Dg(x,y)=\frac{\partial g(x,y)}{\partial x}+\frac{\partial g(x,y)}{\partial y}
et avec y=|x| et comme tu as défini g,
pour moi Dg(0,0)=\frac{\partial g(0,0)}{\partial 0}+\frac{\partial g(0,0)}{\partial 0}=0
que x soit positif ou négatif...?!
ça nous fait une ligne nulle sur la jacobienne de F ok
F n'est alors plus lisse au voisinage de 0?
Bonjour Camélia,
on a bien que
et avec et comme tu as défini g,
pour moi
que x soit positif ou négatif...?!
ça nous fait une ligne nulle sur la jacobienne de ok
n'est alors plus lisse au voisinage de 0?
(pardon j'avais oublié le latex )
Attention, ce n'est pas encore suffisant! Tu as pour x>0
, d'où par passage à la limite,
.
Pour x<0, tu as g(x,-x)=0, donc tu vas trouver de manière analogue
, et par suite
, ce qui fait bien une ligne nulle dans la jacobienne de F.
Ceci mène à une contradiction, donc une telle F n'existe pas et par suite V n'est pas une C1-sous-variété de R2.
ok ok,trés bien!
Merci bien Camélia.
pour l'histoire la courbe paramétrée,je peux pas faire pareil par contre?
y'a t-il une autre méthode?
Si, tu fais pareil. Avec les mêmes norations tu supposes que g(t2,t3)=0 et tu finis par trouver une contradiction.
C'est ma méthode favorite. Dans ce cas tu pourrais aussi supposer l'existence d'une tangente et montrer que ça ne se trouve pas dans les bonnes régions mais ça m'a toujours paru risqué.
je la trouve bien sympa,ça m'évite de parles de systemes de coorodnnées
puis-je me permettre une autre question sur un autre exo?
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