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petite aide
Bonjour, pouvez vous m'aider à résoudre cet exo je bloque à partir de la question 3)a)'''
f définie de R dans R par f(x)=x^3+5x-1
1) Etudier la fonction et montrer que l'equation f(x)=0 admet une unique solution alpha dans R avec 0<alpha<1/2
2)M0 désigne le point d'abscisse 1 de la courbe de f, la tangente à C au point M0 coupe l'axe des abscisses à l'abscisse x1. On construit par récurrence une suite Mn de point de C. xn désigne l'abscisse du point Mn
montrer que xn+1=(2xn^3+1)/(3xn²+5)
3) Etude de la suite (xn)
a) Posons g(x)=2x^3-3alphax²+1-5alpha
a')variation de g
a'')exprimer (xn+1 -alpha) à l'aide de g et xn
a''')Etablir que xn>alpha
Cette dernière question me bloque je n'arrive pas à la faire et ensuite pour la question 4) je suis bloqué au 3 questions pouvez vous m'aider?
4)a)Montrer que xn+1-alpha=(2xn+alpha)/(3xn²+5) (xn-alpha)²
b) En déduire que |xn+1 - alpha|=(3/5)|xn-alpha|² puis qye |xn-alpha|=(3/5)^(2^n+-1)
c) déterminer n à partir duquel on est sür que xn réalise une valeur approchée de alpha à 10^-3 près, 10^-6 et 10^-9 près. Ecrire les valeurs xn affichées par la calculette
encore merci
par recurrence!
- tu verifie pour x1
- soit n>=1, tu suppose que xn>alpha et tu regardes si cela entraine xn+1>alpha
A mon avis il suffit d'utilsier a'')
tu as xn+1-alpha en fonction de g et xn
comme xn>alpha (hypothese) tu va en deduire via les variations de g que
xn+1-alpha est positif donc que xn+1>alpha ce qui finit la demonstration.
merci beaucoup de m'avoir aidé, mais je reste bloqué sur la question 4) comment résoudre a),b)c)
J'ai essayé d'appliquer ta méthode pour a''') mais je bloque moi je commencerai au rang 0 et pas 1 et de plus je ne vois pas comment me servir de l'hypothèse de récurrence si je me sers du signe de g
après pour la question qui suit b) je suis bloqué pour conclure sur la convergence et la limite. Ensuite pour la 4 je suis perdu , pouvez vous m'aider?
xn+1-alpha=(2xn^3+1)/(3xn²+5)-alpha=((2xn^3+1)-alpha(3xn²+5))/(3xn²+5)
=((2xn+alpha)(xn^2-2alpha*xn+alpha^2)-alpha^3-5alpha+1)/(3xn²+5)=(2xn+alpha)(xn-alpha)²/(3xn²+5)
puisque alpha<xn, 2xn+alpha<3xn; entre 0 et 1 la fonction 3x/(3x²+5) dont la dérivée est (5-3x²)/(3x²+5)² est maximale pour x²=5/3 et vaut 3rac(5/3)/10<3/5
donc (xn+1 - alpha)<(3/5)(xn-alpha)² <(3/5)^3(xn-1-alpha)^4<...
et comme x0-alpha=1-alpha<1
xn-alpha<(3/5)^(2^n-1)
Pour la 3ème question
xn+1-alpha=(2xn^3+1)/(3xn²+5)-alpha=((2xn^3+1)-alpha(3xn²+5))/(3xn²+5)
=g(xn)/(3xn²+5)
si xn>alpha, g(xn)>0 (voir les variations de g) et xn+1>alpha
pourquoi g(xn)>0 car dans mon tableau j'ai g(0)=1-5alpha et g(alpha/2)=-alpha^3/2-5alpha+1 et de 0 à alpha/2 g décroit et g croit de alpha/2 à +oo. A moins que je me trompe, je ne comprends pas
cette réponse correspond à la limite ?
xn+1-alpha=(2xn^3+1)/(3xn²+5)-alpha=((2xn^3+1)-alpha(3xn²+5))/(3xn²+5)
=((2xn+alpha)(xn^2-2alpha*xn+alpha^2)-alpha^3-5alpha+1)/(3xn²+5)=(2xn+alpha)(xn-alpha)²/(3xn²+5)
puisque alpha<xn, 2xn+alpha<3xn; entre 0 et 1 la fonction 3x/(3x²+5) dont la dérivée est (5-3x²)/(3x²+5)² est maximale pour x²=5/3 et vaut 3rac(5/3)/10<3/5
donc (xn+1 - alpha)<(3/5)(xn-alpha)² <(3/5)^3(xn-1-alpha)^4<...
et comme x0-alpha=1-alpha<1
xn-alpha<(3/5)^(2^n-1)
si j'ai bien compris on a xn qui converge vers alpha?
par contre je bloque toujours pour la question 4 c'est super chaud
Mon message de18h13, c'est la réponse à la question 4!
Pour les variations de g, g'(x)=6x^2-6alpha*x=6x(x-alpha) donc g' est négatif pour x entre 0 et alpha et positif pour x>alpha
Comme g(alpha)=0 pour x>alpha , g(x)>0
ok mais pour la 4 ce que je dois montrer c'est pas strictement inférieur mais égal et comment faire pour la question 3b)?
Il doit y avoir une erreur dans ton énoncé, car il n'y a pas égalité, mais majoration. En fait, la dérivée de 3x/(3x²+5) est égale à 3(5-3x²)/(3x²+5)² et reste positive pour x<1 On a donc en fait 3x/(3x²+5)<3/8
ok mais j'ai pas du tout compris cette partie là : puisque alpha<xn, 2xn+alpha<3xn; entre 0 et 1 la fonction 3x/(3x²+5) dont la dérivée est (5-3x²)/(3x²+5)² est maximale pour x²=5/3 et vaut 3rac(5/3)/10<3/5
donc (xn+1 - alpha)<(3/5)(xn-alpha)² <(3/5)^3(xn-1-alpha)^4<...
et comme x0-alpha=1-alpha<1
xn-alpha<(3/5)^(2^n-1)
je comprends pas pourquoi tu introduis cette fonction et tout le reste pourrais tu m'expliquer
je demeure bloqué pour la question 4)b) je pense que je dois me servir de la question précédente mais je bloque
de plus je bloque toujours sur 3b comment dois je trouver la limite en 3b?
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