Pour que f admette une limite en a il faut et il suffit que pour tout suite xn convergent vers a alors f(xn)converge vers l.

La démonstration est assez triviale, il suffit de combiner la définition formelle de la convergence d'une suite et celle de la limite d'une fonction, rien de bien compliqué.

Donc c'est bien pour toute suite?
Mon prof dans un exo a dit que xn->0 et f(xn)->1/2 => f(x)-> 1/2 qd x-> 0

Il n'y avait pas d'autre élément que ça... Ca me paraît un peu court non?

Je n'arrive vraiment plus à retrouver la preuve. Peux-tu l'entamer?

J'ai essayé d'utiliser:
|f(x)-l|<= |f(x)-f(xn)|+ |f(xn)-l|  et je ne ssais pas quoi faire du |f(x)-f(xn)|

LE sens => ne me pose pas de problème. C'est l'autre sens...

Ca y est j'ai retrouvé la preuve. On l'avait montré par l'absurde.
Par contre le théorème donné était:
f(x)->l qd x tend vers a <=> l'image par f d'une suite de I convergeant vers a converge vers l

Il me semble que c'est équivalent à dire qu'il suffit de trouver une seule suite   non?

il faut pas trouver la suite, tu considères que t'as une suite qui converge vers a.

Ma question était simplement, est-ce que dans le cadre d'un exercice, le fait que
il existe une suite xn tq
xn->a   et f(xn)->l  => f(x)->l

C'est la formulation du théorème que l'on m'a donné qui me gène.

est-ce que celui que j'ai énoncé plus haut est bien le même que celui de Nightmare?


Et dans le cadre de mon exercice, je ne comprends pas ce que le prof utilise.
Pour montrer que f(x)->1/2, il montre qu'il existe une suite (une suite particulière qu'il construit) tq xn->a et f(xn)->1/2

Il me semble que ça n'est pas une condition suffisante pour pouvoir conclure à l'existence de cette limite.

Par contre on a montré plus haut que pour tout x    0<=f(x)<= 1/2

Est-ce que c'est ça qu'il a utilisé pour pouvoir construire?

est-ce que celui que j'ai énoncé plus haut est bien le même que celui de Nightmare?
le théorème était celui-ci:
f(x)->l qd x tend vers a <=> l'image par f d'une suite de I convergeant vers a converge vers l

C'est faux! Du moins si f n'est pas continue...

Pour t'en covaincre examine l'exemple suivant f(x)=0 pour tout x différent de 0, et f(0)=12. Si tu prends pour suite 1/n alors f(1/n) tend vers 0, mais lim f(x) quand x tend vers 0 n'existe pas...

cela dit si f est continue alors ce résultat est bien sur vrai puisque l'on suppose que la limite de f existe en tout point.  

L'énnoncé exact du théorème est le suivant

i)f(x) tend vers l en a

ii) Pour toute suite (xn) convergent vers a, f(xn) converge vers l.

Il y a équivalence entre i) et ii)

Ok donc ce que mon prof a utilisé, c'est en fait le fait que la fonction que l'on utilisait était continue.
On avait donc:

|f(x)-1/2|<= |f(x)-f(xn)|+|f(xn)-1/2|  et en utilisant la convergence de la suite et la continuité de f on est sauvé. C'est ça?

C'est ca.

Super. Merci à vous deux. C'est tout bête, mais c'était un peu de la marmelade dans ma tête. Important de préciser les choses...