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Niveau terminale
Petite question à propos d’une égalité qui me pose problème
Posté par Lucas2367
Bonjour !
Je rencontre une difficulté sur mon TD d'arithmétique : voici ce qu'on me demande.
Montrer que pour tout entier naturel n non nul avec a un réel ou un complexe on a:
(a^(n)-1)=(a-1)(a^(n-1)+a^(n-2)+...+a+1)
Comment dois-je me prendre pour démonter cela ?
Merci d'avance !
salut
une récurrence me paraitrait pas mal ....toujours se garder ça dans la tête quand tu dois montrer un trucs avec des n
ça marche pas à tous les coups mais presque
Bonsoir,
En développant le terme de droite, presque tous les termes se simplifient 2 à 2, il ne reste que les 2 termes de gauche.
C'est plus une vérification qu'une véritable démonstration , mais ça fonctionne.
salut
reconnaitre la somme des termes d'une suite géométrique me parait le plus efficace ...
le développement proposé par LeHibou est bien sûr une vraie preuve en le rédigeant proprement ...
la récurrence est plus compliquée ...
Bin voilà ...tu as plein de solutions et comme disait mon prof de prépa pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué 
La somme des termes d'une suite géométrique, ça me paraît maladroit comme méthode.
C'est l'histoire de la poule et de l'oeuf ...
Comment démontre-t-on que la somme des termes d'une suite géométrique vaut .... ?
Justement, en utilisant le fait que (an-1) = (a-1)(an-1+an-2+ ...+1 )
-> ty59847
Citation :
La somme des termes d'une suite géométrique, ça me paraît maladroit comme méthode.
La somme des termes d'une suite géométrique, ça me paraît maladroit comme méthode.
Au contraire, c'est probablement la meilleure méthode :
Sn = 1+a+a²+...+an
aSn = a+a²+...an+1
aSn-Sn = an+1-1
(a-1)Sn = an+1-1
Sn = (an+1-1)/(a-1)
1+a+a²+...+an = (an+1-1)/(a-1)
(1+a+a²+...+an)(a-1) = an+1-1
Merci pour vos retours,
Concernant la démonstration en partant de l'expression de droite j'y suis arrivé, mais comme on dit pourquoi on faire simple quand on peut faire compliqué ?
Si on part de (a^(n)-1) pour arriver à celle de droite, il n'y a que la somme des termes géométriques ? (Simple curiosité celle-ci est déjà très bien). Pour la récurrence je trouve que dans ce cas là c'est un peu une "arnaque" car on montre juste la propriété au rang suivant. Bien que valable, je préfère les méthodes un peu plus calculatoires où on construit le résultat nous-même. Merci encore !
Citation :
tu veux une autre proposition :
a^n - 1 = a^n - a^{n - 1} + a^{n - 1} - a^{n - 2} + a^{n - 2} - a^{n - 3} + a^{n - 3} + ... + a^3 - a^2 + a^2 - a^1 +a^1 - 1 = a^{n - 1}(a - 1) + a^{n - 2} (a - 1) + ... + a^2(a -1) + a(a - 1) + 1(a - 1) = \\ \\ (a - 1)(a^{n - 1} + a^{n - 2} + ... + a^2 + a^1 + 1)
et il n'y a aucune arnaque !!!
tu veux une autre proposition :
a^n - 1 = a^n - a^{n - 1} + a^{n - 1} - a^{n - 2} + a^{n - 2} - a^{n - 3} + a^{n - 3} + ... + a^3 - a^2 + a^2 - a^1 +a^1 - 1 = a^{n - 1}(a - 1) + a^{n - 2} (a - 1) + ... + a^2(a -1) + a(a - 1) + 1(a - 1) = \\ \\ (a - 1)(a^{n - 1} + a^{n - 2} + ... + a^2 + a^1 + 1)
et il n'y a aucune arnaque !!!
Celle-là elle est magiiique, merci carpediem
