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Petite question de topologie
Bonjour 
Je me pose une autre question, de topologie cette fois.
On sait que les connexes de R sont les intervalles, et que ceux-ci sont alors clairement connexes par arcs.
Par contre, dans R², le contre exemple classique nous montre qu'un connexe n'est pas forcément connexe par arc.
Quelle est la propriété de R qui fait que la connexité simple est équivalente à la connexité par arcs?
Merci
Fractal 
On a une jolie propriété qui dit que tout ouvert connexe d'un espace de Banach est connexe par arcs.
Or les ouverts connexes de R sont exactement les intervalles.
Oui, pour les ouverts
Mais dans le cas de R, on a en plus la propriété que tous les connexes sont également connexes par arcs peu importe qu'ils soient ouverts ou pas, ce qui n'est plus le cas dans R^n avec n>1.
Fractal
Si bien sûr R² en tant que R-ev est de banach vu qu'il est normé et de dimension fini (donc complet), les ouverts connexes de R² sont par conséquent connexes par arc.
R² est aussi un espace de Banach donc non
je suis pas sur qu'il y ai une réponse vraiment satisfaisante...
mais si il y en a il faudrait chercher soit du coté du fait que pour tous a dans R, R-{a} n'est pas conexe, soit du coté de la relation d'ordre qui est tres lié a la topologie de R. (la topologie de R est totalement définit par ca relation d'ordre quand on y regarde bien...)
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