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petite question sur les series

Posté par
molp 01-10-07 à 19:48

Bonjour, si j'ai calculé \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k^{2}}, comment puis-je en déduire la valeur de \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{k^{2}}

Posté par
kaiser Moderateurre : petite question sur les series 01-10-07 à 20:58

Bonsoir molp

découpe tes deux sommes en deux (selon la parité de k).

Kaiser

Posté par
molpre : petite question sur les series 01-10-07 à 21:27

On a donc :
\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{k^2} = \sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{k^2} - 2\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{(2k)^2}

mais le problème c'est que sachant que : \sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6} comment fait-on pour déduire la valeur de \sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{(2k)^2} ?

Posté par
kaiser Moderateurre : petite question sur les series 01-10-07 à 21:29

par exemple, en sortant le 2² de la somme !

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : petite question sur les series 01-10-07 à 21:30

Par contre, tu t'es trompé : pour la première décomposition, le premier morceau, ce serait plutôt \Large{\Bigsum_{k=0}^{+\infty}\frac{1}{(2k+1)^{2}}}.

Kaiser

Posté par
molpre : petite question sur les series 01-10-07 à 21:48

pourquoi je me suis trompé, j'ai mis un facteur multiplicatif x2, quand j'écris les premiers termes, ca colle. non ?

Posté par
kaiser Moderateurre : petite question sur les series 01-10-07 à 21:54

non, oublie, j'ai rien dit : je n'avais pas fait attention au 2 qui est en facteur (en fait, tous les détails du calcul sont sur u brouillon et là, tu as seulement donné l'essentiel, c'est bien ça ?).

Bref, c'est correct.

Pour la question que tu as posé dans ton message de 21h27, je te renverrais donc à mon message de 21h29.

Kaiser

Posté par
molpre : petite question sur les series 01-10-07 à 22:08

ok, merci beaucoup.

Posté par
kaiser Moderateurre : petite question sur les series 01-10-07 à 22:14

Mais je t'en prie !


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