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petite vérification calcul d'intégrale

Posté par
pauppau 16-11-07 à 12:14

Bonjour,
Je dois dire si l'intégrale suivante converge ou non.
Je pense avoir trouvé mais je ne suis pas sure.
Pouvez vous me dire si j'ai bon ??
Merci d'avance.
\Bigint_0^{1} \frac{lnx}{1-x} dx \\ \textrm Je pose x=1-y \\ \Bigint_1^{0} \frac{ln(1-y)}{y} (-dy) \\ \Longleftrightarrow\Bigint_0^{1} \frac{ln(1-y)}{y} dy \\ \textrm Or on sait que ln(1-y)\approx -y \textrm quand y proche de 0 \\ \textrm Donc \\ \Bigint_0^{1} \frac{-y}{y} dy\Longleftrightarrow\Bigint_1^{0} dy=-1 \\ \textrm Donc \Bigint_0^{1} \frac{lnx}{1-x} dx \textrm converge \\

Posté par
JJare : petite vérification calcul d'intégrale 16-11-07 à 12:25

Et quand x est voisin de 0  (y voisin de 1) ?
A part cela, effectivement elle converge. ( = -(pi^2)/6 )

Posté par
pauppaure : petite vérification calcul d'intégrale 16-11-07 à 13:36

Merci pour cette indication, j'ai essayé de corriger:
\Bigint_0^{1}\frac{lnx}{1-x} dx=\Bigint_0^{\frac{1}{2}}\frac{lnx}{1-x} dx + \Bigint_{\frac{1}{2}}^{1}\frac{lnx}{1-x} dx

\textrm \Bigint_0^{\frac{1}{2}}\frac{lnx}{1-x} dx continue sur ]0,\frac{1}{2}] \\ \textrm pour x=0, l'integrale devient: \Bigint_{\frac{1}{2}}^{1}lnx dx \\ \textrm Or la primitive de lnx est xlnx-x \\ et \lim_{x\to 0} xlnx-x=0 \textrm On peut donc effectuer un prolongement par continuite en 0 \\ Donc \textrm \Bigint_0^{\frac{1}{2}}\frac{lnx}{1-x} dx continue sur [0,\frac{1}{2}] \Longrightarrow \textrm integrale de Riemann donc converge. \\ \\ \Bigint_{\frac{1}{2}}^{1}\frac{lnx}{1-x} dx \\ \textrm je refais l'etude que j'avais faite dans mon premier message. \\ \\ Conclusion:\Bigint_0^{1}\frac{lnx}{1-x} dx converge

Posté par
pauppaure : petite vérification calcul d'intégrale 16-11-07 à 13:36

Pouvez vous me dir si j'ai bon maintenant???
Merci d'avance

Posté par
pauppaure : petite vérification calcul d'intégrale 16-11-07 à 18:21

Personne ne peut me dire si j'ai bon ?

Posté par
jeansebre : petite vérification calcul d'intégrale 16-11-07 à 20:40

Bonsoir

"pour x=0" n'a pas de sens: x varie de 1/2 à 1

* au voisinage de 1, comme tu l'as dit, f est equivalente à -1, donc on peut prolonger f par continuité en 1, donc pas de problème pour l'intégrer de 1/2 à 1

* au voisinage de  0, f est négative et  équivalente à ln(x) , fonction négative intégrable sur [0;1/2] puisque la primitive que tu as donnée a une limite quand x tend vers 0.Donc f est intégrable sur [0;1/2]

Conclusion: l'intégrale de f a une limite sur [0;1].

Posté par
pauppaure : petite vérification calcul d'intégrale 16-11-07 à 20:46

Bonsoir,
Merci de m'avoir répondu..
Est il nécessaire de préciser le signe de la fonction ??

Posté par
jeansebre : petite vérification calcul d'intégrale 16-11-07 à 20:48

Oui , pour utiliser les équivalents

Posté par
pauppaure : petite vérification calcul d'intégrale 16-11-07 à 20:50

Je ne vois pas qu'elle aurait été le problème si la fonction avait été positive ou bien positive et négative selon les valeurs de x..
Pouvez vous m'expliquer svp ?

Posté par
jeansebre : petite vérification calcul d'intégrale 16-11-07 à 21:28

En fait, je confonds avec les séries. Ne tiens pas compte de ce que j'ai dit!


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