Bonjour pour te donner un exemple en geometrie dans R^3 si tu as une base de R^3 tu peux exprimer certaines transformations comme les rotations ou symetries dont la matrice a une forme particuliere. Un autre exemple si tu as une suite reccurrente lineaire tu peux trouver son expression en diagonalisant une matrice.

Mais la base en elle même..comment est ce que je peux me la représenter..parce que l'on nous enseigne que c'est une famille libre et génératrice..mais comment peut on  l'imaginer...de même que la famille génératrice...
En fait l'explication la plus concrète possible serait la bienvenue...
merci d'avance..

Bonjour,

Alors moi dans la famille libre et generatrice je voudrais la fille

"Pioche !"

très bon...

Philoux

excellent ! Je n'ai pas été plus éclairé mais j'ai bien rigolé !...

Je vais tenter un truc un peu métaphorique et j'ai peur que ca ne fasse pas avancer le schmilblick. Ca risque d'être du même niveau que le jeu des 7 familles de Minkus. C'est parti!
Les matrices, ca représente ce qui permet de construire. Quand on parle de matrice , on fait allusion au développement d'un projet, d'une politique,etc... Une base, c'est ce qui est le socle fondamental de cette construction effectuée par les matrices. La base génère des vecteurs qui permettent de construire ou d'élaborer un projet par exemple : c'est en celà qu'elle est génératrice. Cependant, ces vecteurs ont demandé l'abolition de l'esclavage en 1848==> ils sont donc aussi libres: on parle ainsi de famille libre. C'est grâce à la grande liberté d'action de ces vecteurs regroupés en familles ainsi qu'à leur force génératrice( générer~former) qu'ils forment la véritable base  de l'édifice matricielle. En fait, pour moi , je vois les matrices comme un immense chantier en construction avec tout plein de vecteurs qui travaillent collectivement et qui contribuent à faire évoluer ce chantier.
Je sais pas si mon explication aura été d'une grande aide, mais c'est sympa de voir les choses comme ca non?

Attention avec Johnrawls vous venez de rentrer dans la matrix...

Tout ceci amene beaucoup de questions :

Les vecteurs sont-ils syndiques ? ont-ils le droit de greve ? doit on repousser l'age de la retraite des vecteurs ?

je ne peux pas dire que j'arrive mieux à me les imaginer mais en tout cas il fallait l'inventer cette histoire...et oui je trouve que c'est sympa de voir les choses comme ça ! c'est déjà plus marquant pour la mémoire que de simples définitions !!.

Bonsoir Burk.
Je tente le coup pour te donner des exemples de familles libres ou génératrices. Cependant, je risque de ne pas être aussi drôle que les autres.
1°) Tu connais les coordonnées d'un vecteur dans un repère du plan : (a,b).
Prenons l'ensemble E de tous les couples (a,b) de .
Chacun d'eux peut s'écrire (a,b) = a(1,0) + b(0,1). Ceci prouve que tous les éléments de E s'écrivent en fonction de deux éléments particuliers (1,0 et (0,1). Ces deux couples "engendrent" tous les autres : on dit qu'ils forment une famille génératrice de E. Sont-ils indispensables tous les deux ? Oui, car si on enlève l'un des deux on ne retrouvera pas E en entier. Ils forment une famille génératrice minimale ou famille libre. On dit que ((1,0), (0,1)) est une base de E : tout élément de E s'exprime de manière unique sur cette base.
2°) Tu connais les fonctions polynômes de degré 2, elles sont du type :
x P(x) = ax² + bx + c. Qui est "fixe", qui est "mobile" dans cette formule ? On voit que les trois fonctions forment une famille génératrice de l'ensemble de toutes les fonctions polynômes de degré 2. Remarquer qu'elle est aussi minimale. Que penses-tu de ces deux exemples ?
Cordialement RR.

Ces deux exemples simples m'ont été très utiles pour mieux comprendre ces notions !! Donc dans le cas des polynomes de degré 2, on peut aussi dire que P2,P1,P0 forment une base puisqu'ils généreraient tous les polynomes de degré 2..est ce que j'ai bien compris ?

Bonjour,
Comment serait il possible de concrètement se représenter une base et une famille génératrice ?
Et quel est le but premier des matrices ? A quoi servent t'elles ?
Merci de répondre à ces questions qui semblent bêtes mais vos réponses m'éclaireront !

A moi d'essayer !

Pour moi, une base sert à réduire un vecteur à ses coordonnées (ou ce qui revient au même à identifier, à isomorphisme près, un espace de dimension n à et une application linéaire à l'image des vecteurs de la base (ou ce qui revient au même identifier, à isomorphisme près, une application linéaire d'un espace de dimension vers un espace de dimension p à K^{n.p})

Voilà pour moi à quoi ça sert.

Rendez-vous compte une application linéaire de R dans R est complètement caractérisée par un simple réelle ! C'est pas beau, ça ? Essayez d'en faire autant avec le sinus (qui n'est pas linéaire) et vous m'en direz des nouvelles !

Evidemment cette vision des choses permet d'introduire le calcul matriciel.

L'introduction d'une base est donc une façon de simplifier les objets que l'on manipule. D'autant plus que les mathématiciens, faignant comme ils sont !, ce sont dit : "Peut-être existe-t-il des matrices permettant de simplifier encore plus la vision de nos objets ?". Et cela amène à envisagez la réduction des endomorphismes, les bases orthogonales (et hilbertiennes -qui ne sont pas des bases...-) etc...

kilébo.
Oui tu as bien compris. Passons à la suite :
= {}. Une base de E est formée par les n éléments (1,0,0,...,0), (0,1,0,...,0), .... ,(0,0,0,...,1). D'où la nomenclature : "espace vectoriel de dimension n". Imagine que la base "naturelle" que je viens de citer ne te convienne pas et que tu en cherches une autre. D'abord, un théorème te dit que toute autre base de E aura aussi n éléments qui devront être également générateurs et libres.
Exemple : (1,0,0,...,0) , (1,1,0,...,0), .... , (1,1,1,...,1). Une idée vient alors à l'esprit : comment représenter cette nouvelle base par rapport à l'ancienne ? C'est la notion de matrice qui intervient. Voilà, on pourrait (presque !) faire ainsi le tour de l'algèbre linéaire.
Cordialment RR.