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petits problemes en analyse
il y a quelques petites questions auxquelles je n'arrive pas à répondre.Quelqu'un peut m'aider?
1/Montrer que si x et y deux réels avec x 
0.02 et si n est un entier naturel alors :
|x-y|<10^(-n-4)
|(1/x -1/y)|<10^(-n) et que se passe-t-il si on remplace 4 par 3?
2/f est croissante de R dans R et g de R ds R ets continue en 0. Est-ce que lim(x tend vers 0+) de g(f(x)) existe et que se passe-t-il si on remplace g(f(x)) par f(g(x))?
Bonjour, je ne te fais que la 1ere question, la 2eme n'est que du cour:
POUR TOUT REEL x0.02 et y
0 et pour tout n
.
on a:
|x-y|=|y-x| alors:
|x-y|<10^(-n-4) devient:
|y-x|<10^(-n-4), ce qui équivaut à:
1/|y-x|>10^(n+4)> 10^n (1) pour tout n.
De plus: |xy|>0 (y0 et x0)
donc 1/|xy|>0 et (1) devient:
1/(|xy||y-x|)> (10^n)/|xy| (2)
Or; |y-x|< |xy||y-x|
d'où: 1/(|y-x|)> 1/(|xy||y-x|)
et (2) devient :
1/|y-x|> (10^n)/|xy|
et:
|xy|/|y-x|> (10^n)
|y-x|/|xy|<(10^-n)
Or: |y-x|/|xy|= |(y-x)/xy|=|1/x-1/y|
et finalement,on obtient l'égalité recherchée:
|(1/x -1/y)| < 10^(-n).
Voilà, @+(Titi).
1/x-1/y=(y-x)/xy Si |x-y|<10^(-n-4)?10^-4 et x?1/50, y?1/50-10^-4, xy?1/2500-2*10^-6>3*10^-4
Donc |(1/x -1/y)|<(10^-n)/3<10^-n
Pour le second si f(0) n'est pas égal à 0, il n'y a aucune raison pour que la limite existe
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