Deux méthodes pour la somme
1) par récurrence
2)
1+2+...+n
n+...+2.1
---------
?????????

Indice pour le 2ème :

Donc si 9 divise , alors...

J'explique plus clairement la méthode 2) pour la somme.
Appelons S la somme.

2S
=S+S
= 1+2+...+n
_+n+...+2+1
__---------
=(n+1)+...+(n+1) (n termes)
=n(n+1)
Donc...

arf! merci beaucoup! La réponse est rapide claire et précise!
J'ai encore du mal à remettre les automatismes en marche...

Le deuxième est un bel exemple des pièges de la réccurence: il ne faut pas oublier de vérifier que la proposition est vraie au départ.
En effet, comme le montre Nicolas 75, SI 9 divise 10^n +1, il divise 10^(n+1)+1; mais en fait cette assertion est fausse pour tout n (il suffit de se rappeler le critère de divisibilité par 9 en base 10 pour s'en convaincre): 10^0+1=2 10^1+1=11, etc...

lire; "récurrence"

Re...désolé si j'abuse mais notre prof de maths nous a collé une jolie feuille... Bref, c'est la suite de ma première question du message et j'y ai passé une heure sans rien trouver!
Montrer que E_k=1ⁿk²=(n(n+1)(2n+1))/6

Je m'étais dis que si j'ai la réponse du premier je pourrais faire le deuxième mais là, je sèche! Faut-il essayer une récurrence (ça ne m'a mené à rien) ou est-ce simplement un jeu d'écriture? (E représente toujours le signe somme) (d'autant qu'il y en a un troisième aprés...)

Montrer que 2ⁿ⁺²+3²ⁿ⁺¹ est divisible par 7. Faut-il utiliser les congruences (j'ai bien essayé mais...) ?

Merci d'avance de votre aide!

A mon avis, pour les 2 le but est d'utiliser une récurrence:

Pour la premiere:
Initialisation: n=1, 1²=1 et 1*(1+1)*(2+1)/6 = 1
donc P(1) est vraie,

Supposons P(n) vraie, montrons alors que P(n+1) l'est aussi.

E_k=1ⁿ⁺¹ k² = E_k=1ⁿ k² + (n+1)²
               =  (n(n+1)(2n+1))/6 + (6n² + 12n + 6)/6 = (2n³ + 9n² + 13n + 6)/6 = ((n+1)(n+2)(2n+3))/6

Ce qui est P(n+1).

Voila pour l'autre la récurence c'est pareil,juste l'initialisation qui est pour n=0                      

Ok merci. Je m'étais trompé dans ma récurrence et je ne voyais pas trop...

Pour le second, 2^(n+3)+3^(2n+3)=2*2^(n+2)+9*3^(2n+1)=2(2^(n+2)+3^(2n+1))+7*3^(2n+1)
d'où la récurrence...