Bonjour

Vu l'équation, si ne sont pas premiers entre eux, qu'Est-ce qu'ils peuvent avoir comme diviseurs communs?

en effet s'ils ne sont pas premiers entre eux ils ne peuvent avoir pour diviseur comme que 7.
cependant quel est le lien avec la question suivante?

salut

1 a) résoudre dans ZxZ , l'équation (E): 13x-84y=7
par les congruences :

84=6[13]  alors  84y =6y[13]

13=0[13]  alors  13x =0[13]

alors 13x-84y=7= -6y[13]   reste à resoudre -6y=7[13]  or  12 =-1[13] donc 12y=-y[13] et avec -6y=7[13]

on peut ecrire que -12y=14[13]  soit  -12y=1[13] et avec 12y=-y[13] et -12y=1[13]  on peut conclure que y=1[13]

soit y=13k+1 , on peut donc en tirer x et x = (7+84(1+13k))/13 = 7+84k

alors x=7+84k  et y=13k+1

Merci flight.
Cependant c'est beaucoup plus la dernière question qui me préoccupe.

ce que tu peux essayer de faire c'est calculer le pgcd(7+84k,y=13k+1) en posant a = 7+84k et b = 1+13k

pgcd(7+84k,13k+1) = pgcd(6+71k,13k+1) = pgcd(58k+5,13k+1) =  pgcd(4+45k,13k+1)=  pgcd(3+32k,13k+1)= pgcd(19k+2,13k+1) =  pgcd(1+6k,13k+1) =  pgcd(7k,13k+1) etc..

...c'est la methode de soustractions successives

salut

si x = 84t + 7 et y = 13t + 1

alors

7y = 91t + 7

donc

x = 7y - 7t = 7(y - t)

on pouvait d'ailleurs voir directement que x = 7(12t + 1)

et puisque y = 7(2t) + 1 - t

alors si x et y sont premiers alors 7 ne divise pas 1 - t

...

X= 84k+7=7(12k+1)
Y= 13k+1 k appartient à Z
Comme 7 divisé X. Pourque les solutions x et y soient premiers entre eux. Il faudrait que Y≠7t, t appartenant à Z.  C-a-d que 13k+1≠7t. Donc les solutions qui satisfont les dites conditions est le couple (x,y) tel que k soit différent des solutions de l'équation 7t-13k≠1

Bonjour,
Oui, pour le début.
Ensuite utilise la transformation de carpediem : y = 7(2k) + 1 - k
L'entier y est non multiple de 7 si et seulement si 1-k est non multiple de 7.
Ce qui donne 7 ne divise pas 1-k .

Si tu as vu les congruences :
y = 13k + 1 -k + 1 [7] car 13 -1 [7]

7 divise 13k+1 13k+1 0 [7] 1-k 0 [7] k 1 [7]