|c| divise ac et |c| divise bc. donc |c| appartient aux diviseurs de ac et à ceux de bc. Donc [c[ appartient aux diviseurs du pgcd  de ac et bc. donc |c| divise pgcd(ac,bc) donc il existe d dans tel que pgcd(ac,bc)=d*|c|
Montrons que d=pgcd(a,b) :
n aux diviseurs de a et aux diviseurs de b. Donc n divise a et n divise b. Donc cn divise ca et cn divise cb car c non nul.
cn appartient aux diviseurs de ca et de cb donc cn appartient aux diviseurs du pgcd(ac,bc) donc cn appartient aux diviseurs de cd.
cn divise cd donc n divise d donc n appartient aux diviseurs de d donc d =pgcd(a,b=

salut

si d divise a et b alors cd divise ac et bc et |c|d divise ac et bc

donc (en prenant d = pgcd (a, b)) on en déduit que |c|pgcd(a, b) = pgcd (ca, cb)

car dans pgcd il y a un g ...

Merci de vos réponses.

pikaoxys: "donc n appartient aux diviseurs de d donc d =pgcd(a,b)", désolé je ne vois pas pourquoi.
"donc il existe d dans N" c'est dans Z plutôt non ?

carpediem: "on en déduit que |c|pgcd(a, b) = pgcd (ca, cb)

car dans pgcd il y a un g ..."

Désolé mais je ne comprends pas pourquoi. Enfin, je comprends que si on multiplie le plus grand diviseur d'un nombre g par la valeur absolue d'un nombre  f on obtient le plus grand diviseur du nombre gf mais je ne sais pas si j'aurais les points lors d'un contrôle en écrivant cela comme ça.

il n'y a pas deux lignes mais trois lignes ...

tout diviseur commun de ac et de bc est le produit d'un diviseur de c par un diviseur commun d de a et b

le plus grand diviseur de c et c ou - c c'est à dire |c|

il est donc évident que l'un des entiers -c pgcd(a, b) et c pgcd(a, b) est le pgcd de ac et bc ...

donc c'est |c| pgcd (a, b)

Donc on à: |c|*pgcd(a,b) divise ac et  |c|*pgcd(a,b) divise bc \Rightarrow   pgcd(a, b)*|c| = pgcd(ac,bc) car |c| est le plus grand diviseur de c

Je vois que c'est évident mais je ne sais pas si la démonstration est mathématiquement rigoureuse mais vous le savez mieux que moi.
Je suppose que l'on ne peut écrire directement; pgcd(ac,bc) = pgcd(a|c|,b|c|) = pgcd(a, b)*|c|.

"tout diviseur commun de ac et de bc est le produit d'un diviseur de c par un diviseur commun d de a et b " est-ce un axiome ?

Question annexe: La notation Da qui signifie  ensemble des diviseurs de a existe-t-elle en mathématique ?

ce n'est pas un axiome mais un théorème si on veut ... qui est évident ...

il est évident que si a divise b et c divise d alors ac divise bd (par définition de la proposition "a divise b")

D'accord merci.

de rien