Salut c'est n+1 pour la, 1ere question.
Pour la suite il faut factoriser ton numérateur et dénominateur par n+1

Vous voulez dire pour la factorisation ? Comment le justifier ?

Bonjour,
Au 1), tu constates que 2n² + 3n + 1 et 3n² + 4n + 1 se factorisent par n+1.
Écris les factorisations sans fraction.
2n² + 3n + 1 = (n+1)( .... ) et 3n² + 4n + 1 = (n+1)( ... ).
Sinon, ce que tu as écrit est douteux avec ces 1/2 ou 1/3 qui trainent.

Et ça devrait t'aider à traiter 2).

En terminale, tu n'es pas obligé de détailler autant les factorisations.
Tu peux faire, mentalement, par identification.

On a 2n² + 3n + 1 = (n + 1)(2n + 1 ) et 3n² + 4n + 1 = (n + 1)( 3n + 1 ).
Je suis tombé là-dessus également dans mon premier essai, mais j'ai écrit la justification car mon professeur l'avait demandée lors du cours précédent. Mais du coup, pas la peine de chercher les racines pour justifier, je peux tout de suite écrire ma factorisation...
On obtient :
= (n + 1)PGCD(2n + 1 ; 3n + 1)
= (n + 1)PGCD(2n + 1 ; 3n + 1 - (2n + 1))
= (n + 1)PGCD(2n + 1 ; n)
= (n + 1)PGCD(2n + 1 - 2*n ; n)
= (n + 1)PGCD(1 ; n)
= (n + 1)*1
= n + 1

2. d'après 1.  (2n² + 3n + 1)/(3n² + 4n + 1) = [(n + 1)(2n + 1 )] / [(n + 1)(3n + 1 )]
= (2n + 1) / (3n + 1)

Si ton prof veut des détails, il faut les mettre

Pose N(x) = 2x² + 3x + 1 et D(x) = 3x² + 4x + 1.
Remarque que -1 est un zéro évident pour les deux polynômes, puis factorise les par (x+1) avec une méthode pas trop longue.

Pour 2), précise bien pourquoi la fraction est irréductible.

voila  ensuite pas compliquer de verifier que 2n+1 et 3n+1 sont premiers entre eux
et que donc la fraction qu'ils forment est irreductible

En fait, au 1), je séparerais plus clairement le calcul de PGCD(2n + 1 ; 3n + 1) :
PGCD( 2n² + 3n + 1 ; 3n² + 4n + 1 ) = PGCD ( (n + 1)(2n + 1 ) ; (n + 1)( 3n + 1 ) ) = (n+1) PGCD ( 2n + 1 ; 3n + 1 )

PGCD ( 2n + 1 ; 3n + 1 ) = .... = .... = .... = 1

D'où PGCD( 2n² + 3n + 1 ; 3n² + 4n + 1 ) = n+1.

Ça permet de justifier 2) très rapidement avec l'avant dernière ligne.

J'entendais que dans le seul exercice de ce type que nous ayons fait, une question
demandais uniquement la factorisation des deux polynômes, il a donc fallu justifier.
Concernant cet exercice, je n'ai pas de directives précises ; j'imagine devoir
la mettre, parce qu'on ne sait jamais...

Alors je reprends :

1. Pour moi une méthode de factorisation, c'est la recherche des racines comme j'ai fait
précédemment ou bien par identification ; je ne suis pas sûr de pouvoir faire ce que vous m'avez indiqué.

[imaginons que j'aie une justification]
donc PGCD(2n² + 3n + 1 ; 3n² + 4n + 1) = PGCD ((n + 1)(2n + 1) ; (n + 1)( 3n + 1))
= (n + 1)PGCD (2n + 1 ; 3n + 1) par homogénéité
PGCD (2n + 1 ; 3n + 1) = PGCD(2n + 1 ; 3n + 1 - (2n + 1))
= PGCD(2n + 1 ; n)
= PGCD(2n + 1 - 2*n ; n)
= PGCD(1 ; n)
= 1
D'où PGCD(2n² + 3n + 1 ; 3n² + 4n + 1 ) = n+1.

2. Est-ce correct de cette manière ?
(2n² + 3n + 1)/(3n² + 4n + 1) = [(n + 1)(2n + 1 )] / [(n + 1)(3n + 1 )]
= (2n + 1) / (3n + 1)
D'après 1. PGCD (2n + 1 ; 3n + 1) = 1 donc (2n + 1) / (3n + 1) est une forme irréductible.

Oui

Du coup la justification "par identification" est bonne ?

Ce que tu as fait dans ton 1er message pour factoriser est correct.
Sauf de parler de polynôme avec du n qui est un entier.
Je te conseille de poser N(x) = 2x² + 3x + 1 et D(x) = 3x² + 4x + 1.
Puis de les factoriser.
Remplacer x par n à la fin, après avoir fait disparaître le 1/2 ou le 1/3.

"par identification", si tu n'y es pas habitué, laisse tomber.

Pour la 1. :

On pose N(x) = 2x² + 3x + 1
x_1 = 1 est une racine évidente. L'autre racine x_2 vérifie x_1*x_2 = c/a  (avec c = 1 et a = 2)
⇔ -x_2 = 1/2
⇔ x_2 = -1/2
Ainsi 2x² + 3x + 1 = 2(x-(-1))(x-(-1/2)) = 2((x + 1)(x + (1/2)) = (x + 1)(2x + 1)
donc 2n² + 3n + 1 = (n + 1)(2n + 1)

On pose D(x) = 3x² + 4x + 1
x_1 = -1 est racine évidente. L'autre racine x_2 vérifie x_1*x_2 = c/a (avec c = 1 et a = 3)
⇔ -x_2 = 1/3
⇔ x_2 = -1/3
Ainsi 3n² + 4n + 1 = 3(x-(-1))(x-(-1/3)) = 3(x + 1)(x + (1/3)) = (x + 1)(3x + 1)
donc 3n² + 4n + 1 = (n + 1)(3n + 1)

On obtient PGCD(2n² + 3n + 1 ; 3n² + 4n + 1) = PGCD ((n + 1)(2n + 1) ; (n + 1)( 3n + 1))
= (n + 1)PGCD (2n + 1 ; 3n + 1) par homogénéité
PGCD (2n + 1 ; 3n + 1) = PGCD(2n + 1 ; 3n + 1 - (2n + 1))
= PGCD(2n + 1 ; n)
= PGCD(2n + 1 - 2*n ; n)
= PGCD(1 ; n)
= 1
D'où PGCD(2n² + 3n + 1 ; 3n² + 4n + 1 ) = n+1.

salut

en terminale "expertes" (donc connaissant la théorie de première sur les trinomes) j'accepte volontiers la rédaction suivante :


-1 est racine évidente du trinome 2n^2 + 3n + 1 et on en déduit que 2n^2 + 3n + 1 = (n + 1)(2n + 1)

de même -1 est racine du trinome 3n^2 + 4n  + 1 et on en déduit que 3n^2 + 4n + 1 = (n + 1)(3n + 1)


REM :

1/ l'expression "on en déduit que" traduit le résultat d'un travail mené au brouillon pour factoriser ces trinomes (et qu'il n'est pas nécessaire de détailler plus vu l'objectif du pb : ce n'est pas une fin en soi (comme on peut le demander en première en apprentissage) mais une étape pour la suite du pb) et cette rédaction me semble largement suffisante !!

2/ si on veut vraiment détailler on peut utiliser les "formules" donnant la somme et le produit des racines mais comme le dit Sylvieg en aucun cas je ne travaille avec des fractions quand je fais de l'arithmétique (donc je transcris proprement la factorisation directement).

3/ après avoir vu que -1 est racine une autre méthode est d'écrire que (d'après le cours) on en déduit que 2n^2 + 3n + 1 = (n + 1)(an + b) avec a et b des réels puis développer, identifier et déterminer a et b ... (méthode largement vue en classe et faisant partie des savoir-faire)

4/ une autre méthode en connaissant les identités remarquables (et autre factorisation) :





on peut parler de polynnome quelle que soit la variable du moment qu'on précise quelle est cette variable ...

par contre pour la clarté du travail je suis d'accord avec la proposition de Sylvieg de 12h22 de décomposer le travail

enfin pour ce qui est du pgcd de 2n + 1 et de 3n + 1 on peut remarquer que tout diviseur de 2n + 1 et de 3n + 1 divise 3(2n + 1) - 2(3n + 1) = ...

(ce qui fait réviser le cours vu en début d'année et la définition de deux nombres premiers entre eux)


ensuite chaque enseignant a ses marottes ...

J'ai compris, pour la justification ! Merci
J'ai besoin d'aide pour un autre exercice, mais je reviendrais demain ! Merci pour votre aide.

Une remarque sur une des remarques :

Sylvieg : oui oui !!

c'était juste dans l'optique de "détailler" avec une autre méthode très classique d'identification de coefficients ...