Bonjour,
Voici un autre exercice sur le PGCD de deux nombres. J'ai besoin de revoir mes réponses, en particulier pour la 2 et la 3.a.
Voici l'énoncé :

Soit n un entier naturel.
1. Compléter, pour n variant de 0 à 10, le tableau de valeurs.
2. Quelles semblent être les valeurs possibles du PGCD de 2n+1 et de 5 ? Le démontrer.
3. a. On rappelle que n est un entier naturel. En remarquant une périodicité, conjecturer les valeurs du PGCD(2n + 1; 5) en fonction de n.
b. En raisonnant par disjonction des cas au moyen de congruences, déterminer, selon les valeurs de l'entier naturel n, le PGCD(2n + 1 ; 5).

Voici mes réponses :

1.
n     2n+1     PGCD(2n+1 ; 5)
0      1            1
1      3            1
2      5            5
3      7            1
4      9            1
5      11          1
6      13           1
7      15           5
8      17           1
9      19           1
10    21          1

2. Les valeurs possibles du PGCD de 2n + 1 et 5 semblent être 1 et 5. En effet, D(5) = {1 ; 5}.
Cela me semble suffisant pour justifier ma réponse, mais je n'ai rien démontré ; je ne sais pas comment m'y prendre pour répondre.

3.a. Il semble que PGCD(2n + 1; 5) soit égal à 5 lorsque que n se termine par 2 ou 7, donc lorsque que (n - 2) est un multiple de 5.
Dans les autres cas, PGCD(2n + 1; 5) semble valoir 1.
Je ne suis pas sûr de cette réponse non plus.

b. Modulo 5, n peut être congru à 0, 1, 2, 3 ou 4, d'où le tableau de congruences :
n      ≡ 0  1  2  3  4
2n     ≡ 0  2  4  1  3
2n + 1 ≡ 1  3  0  2  4

Par disjonction des cas :
Si n≡2[5] alors 2n+1≡0[5] donc PGCD(2n + 1 ; 5) = 5
Sinon, 2n + 1 ≠ 0[5] donc PGCD(2n + 1 ; 5) = 1

J'espère que quelqu'un saura m'indiquer mes erreurs ! Merci !