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Niveau Maths sup
pgcd,ppcm,nombres premiers prepa
Posté par bstar (invité)
J'ai besoin d'aide avant 16h merci beaucoup
1.)Enoncé de l'exercice :
On appelle ppcm(a,b) où a et b sont deux entiers, le plus petit multiple commun à a et b.
Montrer l'égalité suivante a * b = pgcd(a,b) * ppcm(a, b)
2.)Soient a, b et c trois nombres. Montrer que maximum(a, b, c) = maximum(a, maximum(b,c))
3.)On désire décomposer un nombre entier n en produit de nombres premiers.
Exemple : Pour n = 24, la décomposition de n est 2,2,2,3
montrer si n2 = n1 * k où k est premier, alors la décomposition de n2 en nombres premiers est égale à la décomposition de n1 à laquelle on ajoute le nombre k.
Salut !
1) Il faut distinguer le cas ou a et b sont premiers entre eux et le cas ou ils ne le sont pas.
soit d=PGCD(a,b)=1 soir m=PPCM(a,b)
m = ka=qb puisque m est un multiple de a et b
a | qb et a premier avec b dc d'apres gauss, a |q dc q s'ecrit q=q'a
dcm s'ecrit m=q'ab et le plus petit enier positif est pour q'=1 dc md=ab
Si d different de 1 alors PGCD(a/d,b/d)=1
d'apres precedemment on aura PPCM(a/d,b/d)=ab/d²
De plus PGCD (a,b)=d*PGCD(a/d;b/d) (et de meme pour le ppcm)
dc PGCD(a,b)*PPCM(a,b)= d*PGCD(a/d,b/d)*d*PPCM(a/d,b/d) et on remplace
=d*1*d*ab/d²=ab
CQFD
2) il faut raisonner au cas par cas :
SI max(a,b,c)=a
alors max(a,max(b,c))=max(a,b) ou max (a,c) et on a vu que a>b et a>c dc cela vaut qd meme a.
etc...
3) c'est bizarre car ca me semble tres logique et par csq pas besoin de le demontrer : n2=n1*k ou k premier k divise n2 dc c'est un facteur premier de la decomposition de n2 et n1 divise n2 dc les facteurs premiers de n1 divisent egalement n2 dc ils font partie de la decomposition en facteurs premiers de n2.
Voila...
euh desolee ligne 5, de la question 1) q'ab est le plus petit multiple positif de ab pour q'=1
cette fois ca doit etre bon.
Posté par RisingSun (invité)précision pour le ppcm...
ligne 2 tu as mis : m=ppcm(a,b)
mais ce ppcm a-t-il une valeur particulière dans le cas où a et b ne sont pas premiers entre eux, ou est-ce juste que tu poses m=ppcm(a,b) ?
Par ex, tu as dit que si a et b étaient premiers entre eux, alors pgcd(a,b)=1.
C'est pour ça que je te pose cette question.
Merci de ton éclairement!
Posté par bstar (invité)re : pgcd,ppcm,nombres premiers prepa
Pourquoi : "d'apres precedemment on aura PPCM(a/d,b/d)=ab/d²" Merci !!
Salut !
Pour repondre a tes deux questions :
Oui je pose m=PPCM(a,b) il n'a pas de valeur particuliere (sauf si a premier avec b il va valoir ab et ce qu'on montre) de toutes facons ca ne gene pas , tu peux appeler d le pgcd de a et b parfois il vaut 1 parfois il vaut autre chose et ca ne change rien au raisonnement.
"d'apres precedemment on aura PPCM(a/d,b/d)=ab/d²" en fait juste avant j'ai montre que si a est premier avec b (cad d=1) alors m=ab (et par consequent co d=1 md=ab)
dans le second cas, a n'est pas premier avec b (dc d different de 1) mais a/d et b/d le sont donc leur PPCM est egal a leur produit d'ou PPCM(a/d,b/d)=ab/d²
Voila, j'espere que ca t'auras eclaire...