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pgcdn, n+1)=1 => pgcd (n, (n+1)^2)=1
Posté par vivetmaurice
bonjour tout le monde,
Il y a un truc sur le PGCD que je comprend pas et que je n'arrive pas à démontrer:
PGCD(n, n+1)=1 => PGCD (n, (n+1)^2)=1
quelqu'un peut m'aider? merci
Bonsoir,
Il y a plusieurs démonstrations possibles, par exemple tu peux écrire que PGCD(n, n+1)=1 donc il existe a et b entiers tels que :
an + b(n+1) = 1
En élevant au carré, il vient :
a²n² + 2abn(n+1) + b²(n+1)² = 1
Que tu peux encore écrire :
(a²n + 2ab(n+1))n +b²(n+1)² = 1
Et donc, en posant :
a' = a²n + 2ab(n+1))
b' = b²
tu as :
a'n + b'(n+1)² = 1
Et donc :
PGCD(n,(n+1)²) = 1
Bonsoir,
Je propose une démonstration, sans Bezout, en démontrant ceci :
d divise n et n+1
d divise n et (n+1)2
1) 
est facile.
Si d divise n+1 alors
d divise (n+1)2.
2) Pour l'implication réciproque, on suppose que d divise n et (n+1)2.
Alors n = kd
et
(n+1)2 = k'd.
On écrit n+1
comme combinaison linéaire de
n
et
(n+1)2
:
n+1 = (n+1)2 - n(n+1).
Donc n+1 = k'd - kd(n+1) = d(k'-k(n+1)).
d divise n+1.
En fait, on démontre ainsi PGCD(n, n+1) = PGCD(n, (n+1)2)