Bonjour

le but de l'exercice, c'est de résoudre les systèmes, tout bêtement ...
pour le premier qu'as-tu déjà fait comme opérations ?

Bonjour lafol
pour le premier, j'ai fais ceci :

{x + 2y + 3z = 14
{4x + 5y+ 6z = 32
{7x + 8y + 10z = 53

{x +2y +3z = 14 <- L1
{    -3y -6z = -24 L2 <- L2-4L1
{    -6y-11z = -45 L3 <- L3-7L1

{x +2y +3z = 14 <- L1
{-3y -6z = -24 <- L2
{-6y -11z = -45 <- L3

{x +2y +3z = 14 <- L1
{    z = 3 <- L2 = L3-2L2
{   -6y-11z = -45 L3

seulement arrivé là j'ai un gros doute, je me demande si on ne devrait pas trouver la valeur de z à la 3ème ligne? Celle de y à la deuxième et celle de x à la première?
d'autant que j'ai trouvé cette méthode sur internet, mon professeur lui, remplace tout par des chiffres (les coefficients de x, y et z).

par exemple au mieux d'écrire
{x + 2y + 3z = 14
{4x +5y +6z = 32
{7x + 8y + 10z = 53

il écrit
1 2 3 | 14
4 5 6 | 32
7 8 10| 53

le tout entre parenthèses .. ensuite il applique la méthode du pivot ..

Bonjour ilemaths20,

Ce que tu as fait est pas mal.
C'est équivalent au pivot de Gauss, mais dans une forme plus "traditionnelle" ...
Tu as presque fini, puisque tu as trouvé z=3, que tu peux remplacer dans l'équation où il n'y a que y et z. Ainsi tu trouves y. Puis x.

NB : Tu t'es planté quelque part dans les calculs (tu dois trouver y=2 et x=1).

Commences par résoudre correctement l'exercice de cette manière jusqu'à la conclusion.
Ensuite on verra comment passer à la forme "matricielle" (plus "moderne" et "efficace").

NB: Tu trouves z en troisième ligne parce que tu as choisi de placer cette ligne en 2ème.
Permute les lignes 2 et 3 et tu auras z en 3ème ligne (ce sera plus en phase avec l'approche matricielle).

Méthode du pivot "schématiquement" :

Ton système peut s'écrire sous forme matricielle :  [A].X = B
Où A est une matrice carrée (3x3), X et B des vecteurs (1x3).

Tu vas chercher une matrice de pivots, appelons la [G], telle que G.A = A' est triangulaire.
Ainsi :   A.X = B  ==>  G(A.X) = G.B  ==>  (G.A).X = G.B  ==>  A'.X = B' = G.B

Dans sa nouvelle forme :  A'.X = B'  le système se résout très facilement.
La dernière ligne te donne z, que tu injectes dans la deuxième ligne pour avoir y, et ainsi de suite.

Pour construire G, il suffit de faire des combinaisons linéaires des lignes (comme tu l'as fait pour résoudre le système), qui annulent de proche en proche les coefficients de la matrice inférieurs à la diagonale.

Dernier "truc" :  pour gagner du temps, on ne s'encombre plus du vecteur X, et on intègre B dans une matrice 3x4 en plaçant B à droite... C'est logique puisqu'on veut calculer à la fois G.A et G.B. Autrement dit, toute transformation de la matrice A (par combinaisons linéaires de ses lignes), entraîne la même transformation appliquée à B.

En fait, le but est d'obtenir une matrice (une tableau si tu ne connais pas le concept de matrice) triangulaire supérieur. C'est ça ce que tu veux dire par :

en fait le principe c'est d'ajouter à une ligne une combinaison linéaire des autres : L3 - 2L2, c'est en principe dans L3 qu'on la range, pas dans L2

pourquoi ? pour prendre de bonnes habitudes en vue de quand il y aura des paramètres, éviter de "tuer" une ligne en la multipliant par zéro (multiplier par m-1 sans réfléchir à ce qui advient lorsque m = 1 par exemple) et donc en la remplaçant par une combinaison des autres en la perdant, elle.

j'avais fait le calcul complet, tout à l'heure, je suis d'accord avec Rodriguel

et il reste à "remonter" pour mettre des zéros aussi au dessus de la diagonale, et ainsi obtenir la solution de ce système.

Le système à résoudre est donc :  

Qui se note :



Première itération :



Deuxième itération :



Résolution finale :

Je te recommande néanmoins d'aller au bout de la méthode que tu as appliquée au début.
Tu étais tout près du but. Et il n'y a pas d'erreur (j'ai dit une bêtise plus haut).
Tu verras que les deux méthodes n'en sont qu'une seule. Elles diffèrent uniquement dans la présentation.

Et bonjour tout le monde !

on peut aussi poursuivre les itérations jusqu'à obtenir une matrice diagonale :
et donnera



puis



reste à remplacer la première par :



et là on n'a plus qu'à lire la solution....

Bonjour,
Juste un petit rajout.
L'énorme intérêt de la méthode est son application en informatique. En effet, toutes les étapes peuvent être prévues et donc programmées. Il y a juste une petite condition : il faut ordonner les lignes, c'est à dire les différentes équations par ordre décroissant des coefficients des inconnues.

Bonjour tout le monde!
je vous remercie à tous de m'avoir aidé, j'ai un peu près comprit tout ce que vous m'avez expliqué
le week end dernier ..
seulement je n'arrive pas à résoudre la deuxième équation

{2x + 3y -z = -1
{x + 2y +3z = 2
{3x + 4y - 5z = -4

j'aimerais la résoudre à la façon du professeur, comme tu l'as fais précédemment LeDino

donc au départ j'écris

(2 3 -1 | -1)
(1 2  3 |  2)
(3 4 -5 | -4)

je sais qu'il ne faut jamais toucher à la première ligne
donc je me posais la question, il faut trouver y à la deuxième ligne et z à la troisième?
Ou alors j'ai le droit de trouver y à la troisième et z à la deuxième?

merci de m'éclairer et de m'aider encore un peu, je pense que j'y suis presque

Dans mon dernier post, regarde bien : il y a la résolution matricielle du système.
Le système est lié, et on a une équation qui devient 0 = 0.
Donc infinité de solutions.

Tu fais passer z en paramètre (à droite) et tu résous x et y en fonction de z...

Bonjour LeDino,
j'ai réussi à résoudre le deuxième système mais je bloque sur le troisième à présent ..

j'ai fais :

3) {2x +y -3z = m
    {3x +2y +z = m+3
    {7x +4y -5z = 2m+5

(2 1 -3 | m)
(3 2  1 | m+3)
(7 4 -5 | 2m+5)

ensuite j'ai inversé les colonnes x et y pour avoir une résolution plus facile donc :
(1 2 -3 | m)
(2 3  1 | m+3)
(4 7 -5 | 2m+5)

puis je fais 2L1-L2 pour la deuxième ligne et 4L1-L3 pour la troisième ce qui donne :
(1 2 -3 | m)
(0 1 -7 | m+3)
(0 1 -7 | 2m+5)

ensuite je fais 2L1-L2 pour la deuxième ligne et 4L1-L3 pour la troisième donc j'ai :
(1 2 -3 | m)
(0 1 -7 | m+3)
(0 1 -7 | 2m+5)

ensuite je suis complètement bloqué, plus moyen d'avancer car si je fais L2-L3 je vais me retrouver avec des 0
partout au niveau de la troisième ligne et je ne pourrais pas avoir quelque chose du genre z = ... et je ne
pourrai pas substituer ça dans la deuxième ligne et dans la première pour trouver x et y

je te remercie encore pour ton aide

Bonjour
si tu fais L3 <-- L3 - L2, tu vas obtenir 0 0 0 |m +2


tu as donc la discussion suivante à faire :

soit m + 2 est nul, et la dernière équation ne sert à rien, tu exprimeras deux des inconnues en fonction de la troisième grâce aux deux premières lignes

soit m+2 est non nul, et cette dernière ligne est impossible à satisfaire, ce qui indique que le système de départ n'admet aucune solution

sur le principe c'est ça, mais j'ai l'impression que tu as oublié le second membre, dans tes opérations sur les lignes ....

bonjour lafol,

si je suis ton raisonnement, j'obtiens bien 0 0 0 | m+2 mais je constate
que m est égal à -2 donc m+2 n'est pas nul donc pas de solution?
mais pourquoi s'occupe t-on des m? pourquoi ne pas avoir laissé 2m+5?
quand dois t-on s'en occuper exactement?
merci de ton aide

j'aimerais également résoudre le système suivant :

{x+y-z = 1
{2x+y+z = -1
{4x+y = 0
{x-y+mz = 1

on obtient donc :

x  y  z
____________
(1 1 -1 | 1) L1
(2 1  1 |-1) L2
(4 1 0  | 0) L3
(1 -1 m | 1) L4

je remarque ici que la colonne des y n'est constitué que de 1, je vais donc l'alterner avec celle des x.

y  x  z
____________
(1 1 -1 | 1) L1
(1 2  1 |-1) L2
(1 4  0 | 0) L3
(-1 1 m | 1) L4

je remarque maintenant que la ligne L3 est presque terminée, je vais donc me concentrer dessus :

y  x  z
____________
(1 1 -1 | 1) L1
(1 2  1 |-1) L2
(0 2  0  | 0) L3 <- L3-L2
(-1 1 m | 1) L4

Arrivé là je bloque étant donné qu'il me reste que le 2 a éliminé mais je ne sais pas comment m'y prendre ..
de plus, L3 sera t-il supprimable si elle n'est constituée que de 0 partout?

merci

tu oublies systématiquement de faire les opérations sue la dernière colonne !