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Pivot de gauss résolution de système

Posté par
Lena12
29-10-13 à 13:48

Bonjour! Nous avons étudié le pivot de gauss pour résoudre des systèmes et j'ai un exercice à faire. Je n arrive pas à mettre en application cette méthode. Pouvez m aider et surtout m expliquer comment faire pour résoudre le système suivant :
(2-a)x-y+z=0
X+(4-a)y-z=0
X+2y+(5-a)z=0
Merci pour votre aide

Posté par
iciparisonzieme
re : Pivot de gauss résolution de système 29-10-13 à 13:56

Il faut effectuer des opérations élémentaires sur des lignes afin que le système devienne triangulaire. Si tu veux, à la fin, tu obtiens :

    ax + by + cz = ...
            dy  +fz = ...
                    gz = ...

à chaque fois que tu réalises cette opération, tu dois t'assurer que le pivot soit non nul.

Posté par
iciparisonzieme
re : Pivot de gauss résolution de système 29-10-13 à 14:13

Première étape

Comme je ne sais pas si a-2 est non nul, je commence par échanger L1 et L2 :

x  + ( 4 - a ) y - z = 0

( 2 - a ) x - y + z = 0  

x + 2y + ( 5 - a ) z = 0

Le coefficient de x de L1 est le premier pivot. Il est non nul.
J'élimine x entre L1 et L2, pour cela j'effectue la combinaison ( 2 - a )×L1 - 1×L2
J'obtiens une nouvelle équation (qui remplacera L2) :

      ( 2 - a ) × [ x  + ( 4 - a ) y - z  ] - 1× [ ( 2 - a ) x - y + z ] = ( 2 - a )×0 - 1×0

Soit :

      [ ( 2 - a )×( 4 - a ) +1 ]  y + [ - ( 2 - a ) - 1 ] z = 0

Après je simplifie :

      ( a - 3 )2 y + ( a - 3) z =0

Il ne faut pas se précipiter et simplifier par  a - 3 car on ne sait pas si a - 3 est non nul. On laisse comme ça pour le moment.

Voila ! Il te reste à faire la même chose pour éliminer x entre L1 et L3 (je te suggère de remplacer L3 par L3 -  L1 )

Une fois les calculs faits, tu obtiendras un nouveau système qui a le même ensemble de solutions que le précédent. Les deux premières lignes sont :


x  + ( 4 - a ) y - z = 0

       ( a - 3 )2 y + ( a - 3) z =0

Posté par
iciparisonzieme
re : Pivot de gauss résolution de système 29-10-13 à 14:16

J'ai oublié de te dire que tu peux remplacer la ligne L2 par n'importe quelle combinaison L2 + L1 pourvu que soit non nul. Idem pour les autres.

Posté par Profil amethystere : Pivot de gauss résolution de système 29-10-13 à 14:27

bonjour Lena

dans la méthode du pivôt de Gauss il s'agit d'effectuer des boucles de transformations sur ton système et sur chaque boucle tu passe par trois transformateurs t1,t2,t3 et toujours dans le même sens et en commençant par t1  et dans lesquels pour chaque transformateur le systeme se transforme jusqu'à la resolution du systeme

transformateur 1 t1:division equation par pivôt
transformateur 2 t2:echanges
transformateur 3 t3:ajouts

ton systeme est un systeme d'equation E1,E2 ...En

par exemple
S1=\begin {Bmatrix}2X+3Y+6Z=9 \mathrm {~ ~ E1}\\3X+2Y+17Z=20 \mathrm {~ ~ E2}  \\ X+4Y+(-2)Z=7 \mathrm {~ ~ E3}    \end {matrix}

pour t1 tu choisit E3 en divisant par 1 car le scalaire de X est 1

donc tu obtiens S1=S2

S2=t1(S1)=\begin {Bmatrix}2X+3Y+6Z=9 \mathrm {~ ~ E1}\\3X+2Y+17Z=20 \mathrm {~ ~ E2}  \\ X+4Y+(-2)Z=7 \mathrm {~ ~ E3}   \end {matrix}

pour t2 tu echange E1 et E3 tu obtiens

S3=t2(S2)=\begin {Bmatrix} X+4Y+(-2)Z=7 \mathrm {~ ~ E1}\\3X+2Y+17Z=20 \mathrm {~ ~ E2}  \\  2X+3Y+6Z=9 \mathrm {~ ~ E3}   \end {matrix}

mais là la troisieme equation E3 sur S2 étant concernée par t1 cette equation est E1 sur S3 cette equation là ne pourra plus être échangée(c'est definitif pour elle)

pour t3 on effectue des ajouts
E2-3E1 deviens E2
E3-2E1 deviens E3

S4=t3(S3)=\begin {Bmatrix} X+4Y+(-2)Z=7 \mathrm {~ ~ E1}\\-10Y+23Z=-1 \mathrm {~ ~ E2}  \\  -5Y+10Z=-5 \mathrm {~ ~ E3}   \end {matrix}


on viens de terminer une boucle

on reprend avec t1 en divisant l'equation E3 par pivôt -5

S5=t1(S4)=\begin {Bmatrix} X+4Y+(-2)Z=7 \mathrm {~ ~ E1}\\-10Y+23Z=-1 \mathrm {~ ~ E2}  \\  Y-2Z=1 \mathrm {~ ~ E3}   \end {matrix}

on effectue t2 un echange entre E2 et E3

S6=t2(S5)=\begin {Bmatrix} X+4Y+(-2)Z=7 \mathrm {~ ~ E1}\\   Y-2Z=1   \mathrm {~ ~ E2}  \\   -10Y+23Z=-1     \mathrm {~ ~ E3}   \end {matrix}

mais là la troisieme equation E3 sur S5 étant concernée par t1 cette equation est E2 sur S6 cette equation là ne pourra plus être échangée(c'est definitif pour elle)

à présent t3 on effectue des ajouts

E1-4E2 deviens E1
E3+10E2 deviens E3

S7=t3(S6)=\begin {Bmatrix} X+6Z=3 \mathrm {~ ~ E1}\\   Y-2Z=1   \mathrm {~ ~ E2}  \\   3Z=9     \mathrm {~ ~ E3}   \end {matrix}

on viens de terminer une deuxieme boucle

on reprend avec t1 en divisant l'equation E3 par pivôt 3

S8=t1(S7)=\begin {Bmatrix} X+6Z=3 \mathrm {~ ~ E1}\\   Y-2Z=1   \mathrm {~ ~ E2}  \\   Z=3     \mathrm {~ ~ E3}   \end {matrix}

là on peut pas faire d'echange(à la limite c'est echanger E2 avec E2 et E3 avec E3)
on fait t3 des ajouts
E1-6E3 deviens E1
E2+2E3 devviens E2

S9=t3(S8)=\begin {Bmatrix} X=-15 \mathrm {~ ~ E1}\\   Y=7   \mathrm {~ ~ E2}  \\   Z=3     \mathrm {~ ~ E3}   \end {matrix}

c'est fini

Posté par Profil amethystere : Pivot de gauss résolution de système 29-10-13 à 14:29

bonjour IciParisOnzième excuse tu postais pendant que j'ecrivais je savais pas que tu était là

Posté par
lafol Moderateur
re : Pivot de gauss résolution de système 29-10-13 à 14:33

ou comment rendre abscons un principe tout simple .....
je n'avais encore jamais vu le principe du pivot expliqué de manière aussi obscure ....

Posté par Profil amethystere : Pivot de gauss résolution de système 29-10-13 à 14:34

pourtant c'est clair comme j'ai fais à 14:27 non?  

Posté par
lafol Moderateur
re : Pivot de gauss résolution de système 29-10-13 à 14:40

c'est inutilement compliqué
échanger L1 et L3, puis remplacer L2 par L2 - L1 et L3 par L3 - L1 ça me parait quand même plus simple que tes trucs abscons de trois étapes, première boucle.

Posté par Profil amethystere : Pivot de gauss résolution de système 29-10-13 à 14:43

disons que c'est méthodique...
bon après tout je te fais confiance n'oublie jamais cela
bonne journée Camarade!

Posté par
iciparisonzieme
re : Pivot de gauss résolution de système 29-10-13 à 14:56

La pauvre, soyez indulgent. Elle a mis du temps à écrire tout ça. Amethyste a dû suivre un cours d'algorithmique numérique, elle explique comme elle l'a vu en cours.

Petite remarque : on écrit pivot (sans accent)

Posté par
lafol Moderateur
re : Pivot de gauss résolution de système 29-10-13 à 15:00

si on était des ordinateurs, on ne se prendrait pas la tête à choisir la troisième ligne comme pivot .... ce serait méthodique, là oui, tester la non nullité du pivot, puis Li remplacées par Li - (premier coeff de Li/premier coeff de L1)L1. recommencer sur le sous système obtenu en virant L1
mais a priori l'auteur de la question n'est pas plus une machine que moi ?

Posté par Profil amethystere : Pivot de gauss résolution de système 29-10-13 à 15:02

merci Ici ParisOnzième et encore excuse je savais pas que tu écrivait pendant que j'ecrivais mon post

sinon en fait j'ai quitté l'école à seize ans j'ai jamais suivit de cours depuis et ça fait 31 ans


sinon moi c'est lui c'est Camarade

Posté par
iciparisonzieme
re : Pivot de gauss résolution de système 29-10-13 à 15:13

C'est incroyable ! Tu as la bosse des math, c'est sûr !

Posté par Profil amethystere : Pivot de gauss résolution de système 29-10-13 à 15:20

c'est la pire drogue dure qui soit mais sans clopes je suis foutu!

Bonne journée Camarade

Posté par
lafol Moderateur
re : Pivot de gauss résolution de système 29-10-13 à 15:28

(2-a)x-y+z=0
X+(4-a)y-z=0
X+2y+(5-a)z=0

échange L1 et L2 :

X+(4-a)y-z=0
(2-a)x-y+z=0
X+2y+(5-a)z=0


L2 <-- L2 -(2-a) L1 et L3 <-- L3-L1:
X+(4-a)y-z=0
-(a-3)²y + (3-a)z=0
(a-2)y +(6-a)z =0


premier cas : a = 3
dans ce cas, le système se résume à
x + y - z = 0
0=0
y + 3z = 0

qui a une infinité de solutions données par y = -3z, x = z-y = 4z, donc (x,y,z) = z(4, -3, 1)

deuxième cas : a différent de 3 : on peut alors simplifier l'équation du milieu par 3-a
X+(4-a)y-z=0
(a-3)y + z=0
(a-2)y +(6-a)z =0

on pivote sur le z de l'équation du milieu : on remplace L3 par L3 - (6-a)L2 :
X+(4-a)y-z=0
(a-3)y + z=0
(a-4)²y = 0

d'où une nouvelle distinction de cas :

deuxième sous cas : a = 4
le système se résume alors à
X-z=0
y + z=0
0 = 0

qui a une infinité de solutions données par x = z et y = -z, donc (x,y,z ) = z(1, -1, 1)

dernier sous cas : a différent de 3 et de 4

on simplifie la dernière équation par (a-4)²
X+(4-a)y-z=0
(a-3)y + z=0
y = 0

en reportant la dernière dans la deuxième, on obtient z=0, et en reportant dans la première, x=y=z =0
Une seule solution, (0, 0, 0), lorsque a distinct de 3 et de 4

Posté par
iciparisonzieme
re : Pivot de gauss résolution de système 29-10-13 à 16:10

C'est juste. Remplace les "X" par "x".

Posté par
lafol Moderateur
re : Pivot de gauss résolution de système 29-10-13 à 16:13

merci de tes conseils, ma p'tite ! j'ai juste recopié l'énoncé de départ et fait des copié/collé
x = X dans cet énoncé, ou alors on a tout faux depuis le deuxième post

Posté par
iciparisonzieme
re : Pivot de gauss résolution de système 29-10-13 à 16:25

Pas moi ! J'avais changé les inconnues dès le début.

Posté par
lafol Moderateur
re : Pivot de gauss résolution de système 29-10-13 à 17:00

Justement ! Si x différent de X, le système proposé est à quatre inconnues et trois équations, et tu ne réponds pas à la question en remplaçant les uns par les autres !
et si pour l'auteur du sujet x = X, je ne vois pas le problème à continuer d'écrire indifféremment l'un ou l'autre ....

Posté par
Lena12
re : Pivot de gauss résolution de système 29-10-13 à 20:43

bnjour, tout d'abord merci bcp mais j'ai quelques questions :
que voulez vous dire par " tu dois t'assurer que le pivot soit non nul." ?

Posté par Profil amethystere : Pivot de gauss résolution de système 29-10-13 à 20:45

Bonsoir lena
pour pas diviser par zero
post de 14:27

Posté par Profil amethystere : Pivot de gauss résolution de système 29-10-13 à 20:48

pardon pour la majuscule ratée " Lena"

Posté par
Lena12
re : Pivot de gauss résolution de système 29-10-13 à 20:52

pourquoi faut-il absolument échanger L1 et L2 pour la première étape ?

Posté par Profil amethystere : Pivot de gauss résolution de système 29-10-13 à 20:58

Re-Bonsoir Lena
je sais pas mais j'ai pas fait ça...
en fait ce serait bien de citer la personne(mais je répond vu que il y a quelques minutes je viens de repondre à votre question)
la première chose que je fais à chaque début de boucle: je divise par pivot

Posté par
alb12
re : Pivot de gauss résolution de système 29-10-13 à 21:40

salut, au depart L1+L2 donne (3-a)*(x+y)=0.

Posté par
Lena12
re : Pivot de gauss résolution de système 29-10-13 à 21:47

Pourquoi doit-on particulariser le cas pour "a est différent de 3 et 4" alors qu'on l'a déjà fait pour le cas "a est différent de 3" ?

Posté par
Lena12
re : Pivot de gauss résolution de système 29-10-13 à 21:48

oui d'accord j'ai compris! merci beaucoup, les calculs sont compliqués

Posté par
iciparisonzieme
re : Pivot de gauss résolution de système 29-10-13 à 21:50

J'ai expliqué pourquoi j'avais échangé L1 et L2. Relis bien ce que j'ai écrit...

Posté par Profil amethystere : Pivot de gauss résolution de système 29-10-13 à 22:05

Excusez moi tous Lena,IciparisOnzième,Alb,Lafol c'est pour vous tous que je dit ça
au fond moi je compte pas car:
les maths c'est pas Lovecraft tant qu'on reste humain même si on sait très bien que Lovecraft a tout compris et dit la vérité

Si je divise par pivot au debut c'est pour me debarrasser d'un coefficient inutile
bon je comprend que votre méthode est meilleure et plus claire mais n'empêche mon "mécanisme Lovecraftien" il est pas si moche au fond
enfin bon ok ...

Bonne soirée à tous

Posté par
alb12
re : Pivot de gauss résolution de système 29-10-13 à 22:14

si tu fais la somme des deux premieres lignes:
1/ si a=3 alors ...
2/ sinon y=-x etc ...

Posté par Profil amethystere : Pivot de gauss résolution de système 29-10-13 à 22:20

Alb j'ai pas dit que j'avais raison j'ai juste parlé de lovecraft(qui connaissait rien aux maths à ce qu'on dit mais ça j'y crois pas même si on me le prouve)

seulement commencer pas le pivot c'est plus évident quand le système d'équations comporte beaucoup d'équations
les coefficients sont "visibles" mais bon ...
excusez moi
belle soirée à vous

Posté par
alb12
re : Pivot de gauss résolution de système 29-10-13 à 22:26

"qui connaissait rien aux maths" dis-tu. Pas si sûr ...
Dans L'Appel de Cthulhu, les personnages font face à une architecture « anormale, non euclidienne, aux senteurs répugnantes des sphères et de dimensions qui ne sont pas les nôtres ( )

Posté par
lafol Moderateur
re : Pivot de gauss résolution de système 29-10-13 à 22:26

ce que fait alb est aussi le pivot : simplement il a regardé un peu mieux que moi le système, et vu que le coeff "1" du z de la première ligne donnerait des résultats plus intéressants que le coeff "1" du x de la deuxième ligne ....

Posté par Profil amethystere : Pivot de gauss résolution de système 29-10-13 à 22:28

pardon la majuscule (c'est pas volontaire) "Lovecraft"
excuse moi Camarade c'est une faute de frappe...

sinon oui belle soirée à vous tous

Posté par
alb12
re : Pivot de gauss résolution de système 29-10-13 à 22:30

j'avais commence à calculer le determinant,
la somme des deux premieres lignes permet de factoriser 3-a.
Puis retour au systeme avec L1+L2.

Posté par Profil amethystere : Pivot de gauss résolution de système 29-10-13 à 22:37

pardon Alb je n'avais pas vu ton post
oui parfaitement d'accord avec toi
Nina Hagen le dit aussi dans sa chanson "Naturtrane" qui explique tout

belle soirée à vous tous

Posté par Profil amethystere : Pivot de gauss résolution de système 29-10-13 à 22:51

cadeau pour vous mes amis
là c'est plus rapprochant encore



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