Bonjour! Nous avons étudié le pivot de gauss pour résoudre des systèmes et j'ai un exercice à faire. Je n arrive pas à mettre en application cette méthode. Pouvez m aider et surtout m expliquer comment faire pour résoudre le système suivant :
(2-a)x-y+z=0
X+(4-a)y-z=0
X+2y+(5-a)z=0
Merci pour votre aide
Il faut effectuer des opérations élémentaires sur des lignes afin que le système devienne triangulaire. Si tu veux, à la fin, tu obtiens :
ax + by + cz = ...
dy +fz = ...
gz = ...
à chaque fois que tu réalises cette opération, tu dois t'assurer que le pivot soit non nul.
Première étape
Comme je ne sais pas si a-2 est non nul, je commence par échanger L1 et L2 :
x + ( 4 - a ) y - z = 0
( 2 - a ) x - y + z = 0
x + 2y + ( 5 - a ) z = 0
Le coefficient de x de L1 est le premier pivot. Il est non nul.
J'élimine x entre L1 et L2, pour cela j'effectue la combinaison ( 2 - a )×L1 - 1×L2
J'obtiens une nouvelle équation (qui remplacera L2) :
( 2 - a ) × [ x + ( 4 - a ) y - z ] - 1× [ ( 2 - a ) x - y + z ] = ( 2 - a )×0 - 1×0
Soit :
[ ( 2 - a )×( 4 - a ) +1 ] y + [ - ( 2 - a ) - 1 ] z = 0
Après je simplifie :
( a - 3 )2 y + ( a - 3) z =0
Il ne faut pas se précipiter et simplifier par a - 3 car on ne sait pas si a - 3 est non nul. On laisse comme ça pour le moment.
Voila ! Il te reste à faire la même chose pour éliminer x entre L1 et L3 (je te suggère de remplacer L3 par L3 - L1 )
Une fois les calculs faits, tu obtiendras un nouveau système qui a le même ensemble de solutions que le précédent. Les deux premières lignes sont :
x + ( 4 - a ) y - z = 0
( a - 3 )2 y + ( a - 3) z =0
J'ai oublié de te dire que tu peux remplacer la ligne L2 par n'importe quelle combinaison L2 +
L1 pourvu que
soit non nul. Idem pour les autres.
bonjour Lena
dans la méthode du pivôt de Gauss il s'agit d'effectuer des boucles de transformations sur ton système et sur chaque boucle tu passe par trois transformateurs t1,t2,t3 et toujours dans le même sens et en commençant par t1 et dans lesquels pour chaque transformateur le systeme se transforme jusqu'à la resolution du systeme
transformateur 1 t1:division equation par pivôt
transformateur 2 t2:echanges
transformateur 3 t3:ajouts
ton systeme est un systeme d'equation E1,E2 ...En
par exemple
pour t1 tu choisit E3 en divisant par 1 car le scalaire de X est 1
donc tu obtiens S1=S2
pour t2 tu echange E1 et E3 tu obtiens
mais là la troisieme equation E3 sur S2 étant concernée par t1 cette equation est E1 sur S3 cette equation là ne pourra plus être échangée(c'est definitif pour elle)
pour t3 on effectue des ajouts
E2-3E1 deviens E2
E3-2E1 deviens E3
on viens de terminer une boucle
on reprend avec t1 en divisant l'equation E3 par pivôt -5
on effectue t2 un echange entre E2 et E3
mais là la troisieme equation E3 sur S5 étant concernée par t1 cette equation est E2 sur S6 cette equation là ne pourra plus être échangée(c'est definitif pour elle)
à présent t3 on effectue des ajouts
E1-4E2 deviens E1
E3+10E2 deviens E3
on viens de terminer une deuxieme boucle
on reprend avec t1 en divisant l'equation E3 par pivôt 3
là on peut pas faire d'echange(à la limite c'est echanger E2 avec E2 et E3 avec E3)
on fait t3 des ajouts
E1-6E3 deviens E1
E2+2E3 devviens E2
c'est fini
ou comment rendre abscons un principe tout simple .....
je n'avais encore jamais vu le principe du pivot expliqué de manière aussi obscure ....
c'est inutilement compliqué
échanger L1 et L3, puis remplacer L2 par L2 - L1 et L3 par L3 - L1 ça me parait quand même plus simple que tes trucs abscons de trois étapes, première boucle.
disons que c'est méthodique...
bon après tout je te fais confiance n'oublie jamais cela
bonne journée Camarade!
La pauvre, soyez indulgent. Elle a mis du temps à écrire tout ça. Amethyste a dû suivre un cours d'algorithmique numérique, elle explique comme elle l'a vu en cours.
Petite remarque : on écrit pivot (sans accent)
si on était des ordinateurs, on ne se prendrait pas la tête à choisir la troisième ligne comme pivot .... ce serait méthodique, là oui, tester la non nullité du pivot, puis Li remplacées par Li - (premier coeff de Li/premier coeff de L1)L1. recommencer sur le sous système obtenu en virant L1
mais a priori l'auteur de la question n'est pas plus une machine que moi ?
merci Ici ParisOnzième et encore excuse je savais pas que tu écrivait pendant que j'ecrivais mon post
sinon en fait j'ai quitté l'école à seize ans j'ai jamais suivit de cours depuis et ça fait 31 ans
sinon moi c'est lui c'est Camarade
(2-a)x-y+z=0
X+(4-a)y-z=0
X+2y+(5-a)z=0
échange L1 et L2 :
X+(4-a)y-z=0
(2-a)x-y+z=0
X+2y+(5-a)z=0
L2 <-- L2 -(2-a) L1 et L3 <-- L3-L1:
X+(4-a)y-z=0
-(a-3)²y + (3-a)z=0
(a-2)y +(6-a)z =0
premier cas : a = 3
dans ce cas, le système se résume à
x + y - z = 0
0=0
y + 3z = 0
qui a une infinité de solutions données par y = -3z, x = z-y = 4z, donc (x,y,z) = z(4, -3, 1)
deuxième cas : a différent de 3 : on peut alors simplifier l'équation du milieu par 3-a
X+(4-a)y-z=0
(a-3)y + z=0
(a-2)y +(6-a)z =0
on pivote sur le z de l'équation du milieu : on remplace L3 par L3 - (6-a)L2 :
X+(4-a)y-z=0
(a-3)y + z=0
(a-4)²y = 0
d'où une nouvelle distinction de cas :
deuxième sous cas : a = 4
le système se résume alors à
X-z=0
y + z=0
0 = 0
qui a une infinité de solutions données par x = z et y = -z, donc (x,y,z ) = z(1, -1, 1)
dernier sous cas : a différent de 3 et de 4
on simplifie la dernière équation par (a-4)²
X+(4-a)y-z=0
(a-3)y + z=0
y = 0
en reportant la dernière dans la deuxième, on obtient z=0, et en reportant dans la première, x=y=z =0
Une seule solution, (0, 0, 0), lorsque a distinct de 3 et de 4
merci de tes conseils, ma p'tite ! j'ai juste recopié l'énoncé de départ et fait des copié/collé
x = X dans cet énoncé, ou alors on a tout faux depuis le deuxième post
Justement ! Si x différent de X, le système proposé est à quatre inconnues et trois équations, et tu ne réponds pas à la question en remplaçant les uns par les autres !
et si pour l'auteur du sujet x = X, je ne vois pas le problème à continuer d'écrire indifféremment l'un ou l'autre ....
bnjour, tout d'abord merci bcp mais j'ai quelques questions :
que voulez vous dire par " tu dois t'assurer que le pivot soit non nul." ?
Re-Bonsoir Lena
je sais pas mais j'ai pas fait ça...
en fait ce serait bien de citer la personne(mais je répond vu que il y a quelques minutes je viens de repondre à votre question)
la première chose que je fais à chaque début de boucle: je divise par pivot
Pourquoi doit-on particulariser le cas pour "a est différent de 3 et 4" alors qu'on l'a déjà fait pour le cas "a est différent de 3" ?
Excusez moi tous Lena,IciparisOnzième,Alb,Lafol c'est pour vous tous que je dit ça
au fond moi je compte pas car:
les maths c'est pas Lovecraft tant qu'on reste humain même si on sait très bien que Lovecraft a tout compris et dit la vérité
Si je divise par pivot au debut c'est pour me debarrasser d'un coefficient inutile
bon je comprend que votre méthode est meilleure et plus claire mais n'empêche mon "mécanisme Lovecraftien" il est pas si moche au fond
enfin bon ok ...
Bonne soirée à tous
Alb j'ai pas dit que j'avais raison j'ai juste parlé de lovecraft(qui connaissait rien aux maths à ce qu'on dit mais ça j'y crois pas même si on me le prouve)
seulement commencer pas le pivot c'est plus évident quand le système d'équations comporte beaucoup d'équations
les coefficients sont "visibles" mais bon ...
excusez moi
belle soirée à vous
ce que fait alb est aussi le pivot : simplement il a regardé un peu mieux que moi le système, et vu que le coeff "1" du z de la première ligne donnerait des résultats plus intéressants que le coeff "1" du x de la deuxième ligne ....
pardon la majuscule (c'est pas volontaire) "Lovecraft"
excuse moi Camarade c'est une faute de frappe...
sinon oui belle soirée à vous tous
j'avais commence à calculer le determinant,
la somme des deux premieres lignes permet de factoriser 3-a.
Puis retour au systeme avec L1+L2.
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