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Plan complexe

Posté par Snowman (invité) 30-09-05 à 18:43

Bonjour à tous, j'ai un exercice à faire, le voici:

On considère le plan complexe muni d'un repère orthonormal (O;u;v).
A est le pt d'affixe i.
A tous pt M du plan, d'affixe z distincte de i, on associe le pt M' d'affixe z'=iz/(z-i).

1)a. Déterminez les pts M tq M=M'.
  b. Déterminez le pt B' associé à B d'affixe 1. Déterminez le pt C tq  le pt C' ait pour affixe 2.

2) On pose z= x+iy et z'=x'+iy' avec x ,y ,x' et y' réels.
   a.Calculer x' et y' en fonction de x et y.
   b.Déterminez l'ensemble des pts M, distincts de A, pour lesquels z' est réel.

Voila l'exerxice j'ai fait la question A qui est: Comme M=M', alors z=iz/(z-2i) donc:    z(z-i)=iz   z²-iz=iz  z²-2iz=0  z(z-2i)=O

Donc soit z=0 ou z=2i.         Est-ce bon? Et comment procéder pour la suite.

Merci  

Posté par aicko (invité)re : Plan complexe 30-09-05 à 19:20

bonjour

l'application f etudiée est une fonction homographique


1) cherchons les points fixes de f
leur affixe verifie
f(z)=z
soit z(z-i)-iz=0
z(z-i-i)=0
z(z-2i)=0
soit z=0 ou z=2i
donc f admet deux points fixes

b. B' a pour affixe z=\frac{i}{1-i}= \frac{i(1+i)}{2}=\frac{i-1}{2}

l'affixe du point C verifie :
2=\frac{iz}{z-i}
soit 2z-2i-iz=0
soit (2-i)z=2i
soit z=\frac{2i}{2-i}=\frac{2i(2+i)}{5}=\frac{4i-2}{5}

2.a.

z'=\frac{iz(\bar{z}+i)}{(z-i)(\bar{z-i})}
=\frac{iz\bar{z}-z}{lz-il^2}
=\frac{ilzl^2-z}{lz-il^2}

nous obtenons
lz-il^2=x^2+(y-1)^2  et ilzl^2-z=i(x^2+y^2)-x-iy=-x+i(x^2+y^2-y)

CONCLUSION: x' = \frac{-x}{x^2+(y-1)^2} et y'=\frac{x^2+y^2-y}{x^2+(y-1)^2}

ainsi z' est reel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle
soit x^2+y^2-y=0
soit x^2+(y-0.5)^2-0.5^2=0
donc c'est l'equation d'un cercle
je te laisse rechercher ses caracteristiques..






Posté par Snowman (invité)re : Plan complexe 30-09-05 à 19:25

ok merci donc pour le premier j'ai bon je suis content
Juste une petite question au passege, c'est quoi une fonction homographie? je ne l'ai pas encore vu en classe.

Posté par Snowman (invité)re : Plan complexe 30-09-05 à 21:09

En fait petit probleme, dans la 2)a, comment aicko est passé de (z-i)² à x²+(y-1)² ? Et comment avoir trouvé x'= -x/(x²+(y-1)²) ainsi que y²?
Merci pour votre aide


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