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Plan stable par un endomorphisme
Bonjour,
Voilà mon petit problème; je suis coincé dès la première question d'un exercice:
soit u l'endomorphisme de R3 de matrice canonique
( 1 0 0 )
A =( 1 0 1 )
( 0 -1 1 )
Il faut montrer qu'il existe un unique plan P stable par u et il faut le trouver... sauf que je n'en trouve aucun...
Merci d'avance.
bonjour,
ne faut-il pas résoudre A.(x y z)(en colonne) = (x y z)(en colonne)??
on a sauf erreur:
x=x
x+z=y
-y+z=z
cad:
y=0, x+z=0.
?? je sais pas si c'est ça qui est vraiment demandé?
Moi j'avais essayé de résoudre :
X(x,y,z) E p --> u(X)= X'(x',y',z') E P avec P : x=ay + bz + d
donc j'ai essayé de résoudre
x'=x
y'= x+z
z' = -y+z
x'=ay' + bz' + d
mais je n'arrive à rien
Mais pour le prouver, as-tu la propriété :
Soit B'=(a1,a2,a3) une base de E adaptée à P ( donc (a1,a2) base de P car hyperplan dans espace de dim = 3 )
Alors :
u stabilise P <=> M(B',u) est de la forme :
a b c
d e f
0 0 g
??
On peut m'expliquer pourquoi ?
Parce que je ne suis pas d'accord.
Si vect(e1,e3) fonctionnait, on aurait :
u(e1) inclus dans vect(e1,e3)
u(e3) inclus dans vect(e1,e3)
ce qui n'est pas le cas si ?
Romain
bah personnelement je sais pas si je répond bien à la question mais moi j'aurais dit que le plan engendré par (1,0,-1) est stable par u puisque u(1,0,-1)=(1,0,-1)
mais je sais pas trop si c'est ça qui est demandé
robby >> un plan dans un espace de dimension 3 est engendré par 2 vecteurs ... (qui forment une famille libre bien sur !! )
C'est bon, je crois en avoir trouvé un correct :
En posant :
a1 = e2+e3
a2 = e3
a3 = e1+e2+e3
(a1,a2,a3) est une base de E et :
u(a1) = u(e2+e3) = u(e2)+u(e3) = -e3+e2+e3 = e2 = a1-a2 inclus dans vect(a1,a2)
u(a2) = u(e3) = e2+e3 = a1 inclus dans vect(a1,a2)
Donc je dirais :
P = vect( e2+e3 , e3 )
Mais ce qui me gène, c'est qu'on nous parle d'unicité ...
Ma solution est-elle correcte déjà ?
Romain
et bien aprés les betises que j'ai dite,je m'y risque encore, le calcul de Romain est correct me semble t-il:
u(e2+e3)=e2
u(e3)=e2+e3 donc de ce point de vue je pense que ça marche.
aprés l'unicité?
par l'absurde? on suppose qu'il y en 2...?!
au fait la méthode de robby permet de déterminer les vecteurs fixes
quant à l'unicité ben (1 0 -1)(vecteur fixe) n'appartient pas à ton plan (j'espère ne pas dire n'importe quoi) et pourtant.... je ne comprends plus rien 
il n'y a pas unicité??
Bonsoir à tous
Je suis aussi d'accord avec toi Romain.
Sinon, je pense avoir trouvé une piste : si P et P' sont deux plans stables distincts alors l'intersection de P et P' est une droite stable. Autrement dit, il y a un vecteur propre.
Or, on "voit" que la seule valeur propre réelle est 1 donc il suffit de montrer que ton plan stable ne contient aucun vecteur non nul fixe.
Kaiser
Bien sûr, en sup, on ne fait pas trop de vecteur propre etc.. mais bon, ça on peut peut-être contourner ce problème.
Kaiser
Par contre Kaiser j'ai une question :
Je ne comprends pas le lien entre le 1er et le 2ème paragraphe :
Je pense avoir trouvé une piste : si P et P' sont deux plans stables distincts alors l'intersection de P et P' est une droite stable. Autrement dit, il y a un vecteur propre.
Or, on "voit" que la seule valeur propre réelle est 1 donc il suffit de montrer que ton plan stable ne contient aucun vecteur non nul fixe.
Tu pourais expliqué en vitesse ?
NB : pour le "1" valeur propre je suis ok !
Je raisonne par l'absurde.
S'il y a au moins 2 plans stables, alors on voit qu'il y a une droite stable.
mais qui dit droite stable, dit vecteur propre.
Ainsi, dans ce cas, nécessairement, un plan stable contient un vecteur propre et donc il existe un réel a et un vecteur non nul x de P tel que f(x)=ax.
On "voit" que la seule valeur possible pour a est 1 (en effet, on peut voir facilement que les deux autres valeurs propres sont -j et -j²).
Donc f(x)=x.
Il suffira alors de vérifier, et je suis à peu près sûr que c'est vrai, que P ne contient aucun vecteur de ce type, auquel cas, on aboutira à une contradiction.
Kaiser
Moi aussi je trouve que (1,0,-1) vecteur propre de 1 est stable par u... Et j'ai pas vraiment compris comment vous trouviez le plan stable.
Sinon la suite de l'exercice est:
soit x E P\{0}. On pose y = u(x). Montrer que (x,y) est une base de P.
On appelle v la restriction de u à P. Déterminer la matrice de v dans la base(x,y).
Trouver un produit scalaire sur P tel que v soit une rotation.
Peut-être que ça peut vous aider à voir où l'exo veut nous mener.
Merci pour votre aide en tout cas.
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