Niveau Master

Plancherel

Posté par
Jean1257 29-12-11 à 06:04

Bonjour,

J'ai un doute, et vous pouvez sans doute m'éclairer!

Si a,b,c sont trois fonctions tq: $|\hat{a}(\xi)|^2\leq |\hat{b}(\xi)|^2+|\hat{c}(\xi)|^2$

est-ce qu'on a:

$\|af\|_{L^2}\leq \|bf\|_{L^2}+\|cf\|_{L^2}$

avec f une autre fonction tq le tout soit bien défini?

Ca m'a l'air trivial avec Plancherel, mais en Fourier j'ai peur de faire des estimations fausses!

Posté par re : Plancherel 29-12-11 à 11:14

Bien sur...j'ai oublié de mettre la convolution dans la deuxième inégalité

$\|a\ast f\|_{L^2}\leq \|b\ast f\|_{L^2}+\|c\ast f\|_{L^2}$

Posté par re : Plancherel 29-12-11 à 17:14

Du coup, moi je mettrai

$\|a\ast f\|_{L^2}^2=\int |\hat{a}(\xi)|^2|\hat{f}(\xi)|^2 d\xi\leq \int \big(|\hat{b}(\xi)|^2+|\hat{c}(\xi)|^2\big)|\hat{f}(\xi)|^2 d\xi\leq \|b\ast f\|_{L^2}^2+\|c\ast f\|_{L^2}^2$

et le tour est joué

n'est-ce pas?

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