Je tente:

par l'absurde:

0 n'est pas  point fixe, donc f(0) > 0  (par exemple) donc f(x) - x  > 0 en 0

donc sur [0,1], f(x)-x est strictement positive car etant continue, une valeur négative entrainerait une valeur nulle par le théoreme des valeurs intermédiaires.

donc f(1)-1 > 0

c a d :  f(1) > 1  ce qui est contraire à l'hypothèse sur l'ensemble d'arrivée.

Je crois que c'est bon...

Merci à tous!

Salut; méthode qui ressemble à la tienne:

g(x)=f(x)-x. g(0) supérieur ou égal a 0
             g(1) inférieur ou égal à 0
Puis theoreme des valeurs intermédiaires=> il existe a appartenant à [0,1] tq g(a)=0 soit f(a)=a.