Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Licence Maths 1e ann AnalyseTopics traitant de analyse [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Licence Maths 1e ann
Partager :

point fixe

Posté par
asnyne 03-06-23 à 00:19

bonsoir
(un) suite definie par u1=0 et
un+1=(nun+2)/(n+1).
1)montrer que (un)est croissante et majoree par 2 (fait)
2)determiner la limite.
j'ai pensé à utiliser le théoreme du point fixe pour déterminer la limite l .sauf que la fonction f est ici à 2 variables ou encore f est parametrique
je pose fn(x)=(nx+2)/(n+1) d'ou
un+1=fn(un).
donc ,mon probleme est ce que je peux utiliser le théoreme du point fixe pour cette fonction fn ??

Posté par
larrechre : point fixe 03-06-23 à 08:27

Bonjour,

En remarquant que la relation de récurrence s'écrit aussi

(n+1)un+1=nun+2

exprime un en fonction de u1

Posté par
asnynere : point fixe 03-06-23 à 10:17

Merci
A vrai dire j'ai trouvé le terme general de Un
Et j 'ai calculé la limite .
à voir l'exercice, cette question a été posé juste apres .ce qui fait à autre chose.
Je pense que le prof visait le théoreme du point fixe !!
Merci ami .bonne journée

Posté par
larrechre : point fixe 03-06-23 à 10:39

C'est vrai aussi que résoudre l'équation x=(nx+2)/(n+1) conduit à trouver que x=2.

Posté par
asnynere : point fixe 03-06-23 à 11:20

oui , mais est ce que c'est juste d'utiliser le point fixe dans ce cas   ????? c'est la question
ici   ;  f= fn(un)=f(n,un).
fonction à 2 variables

Posté par
Sylvieg Moderateurre : point fixe 03-06-23 à 12:11

Bonjour,
Pour démontrer 1), le calcul de 2-un+1 a sans doute été utilisé.
On trouve une relation simple entre 2-un+1 et 2-un.
En posant vn = 2-un, on peut trouver l'expression de vn.
Puis voir que la suite (vn) converge vers 0.
Mais ce n'est pas immédiat.

Posté par
asnynere : point fixe 03-06-23 à 13:12

Merci 🙂

Posté par AitOuglifre : point fixe 03-06-23 à 13:53

larrech @ 03-06-2023 à 10:39

C'est vrai aussi que résoudre l'équation x=(nx+2)/(n+1) conduit à trouver que x=2.

Bonjour larrech

Quel est le sens de cette équation? x est censé être la limite de u quand n tend vers +\infty. Comment obtiendrait-on cette équation, qui voudrait dire par ailleurs que x dépend de n?

Posté par
larrechre : point fixe 03-06-23 à 14:25

BonjourAitOuglif
Si je fixe n, j'ai bien une équation en x, non?
Mais je n'ai jamais prétendu qu'on pouvait en tirer quoi que ce soit quant à la limite de un.

Posté par
larrechre : point fixe 03-06-23 à 14:37

C'est vrai que mon truc n'a pas grand sens...Mea culpa.

Posté par
asnynere : point fixe 03-06-23 à 15:35

Bonjour AitOuglif
Mais avant de représenter  une limite ,  x à l'origine c'est le point fixe d'une fonction qui dépend de n , or en calculant x , il s'avére qu'il ne dépende pas  de n et d'autre part ,  la valeur2 de x, est exactement la limite de u.
Peut étre dans ce cas le théoreme du point fixe s'applique bien !!!!

Posté par AitOuglifre : point fixe 03-06-23 à 18:38

larrech @ 03-06-2023 à 14:37

C'est vrai que mon truc n'a pas grand sens...Mea culpa.


asnyne @ 03-06-2023 à 15:35

Bonjour AitOuglif
Mais avant de représenter  une limite ,  x à l'origine c'est le point fixe d'une fonction qui dépend de n , or en calculant x , il s'avére qu'il ne dépende pas  de n et d'autre part ,  la valeur2 de x, est exactement la limite de u.
Peut étre dans ce cas le théoreme du point fixe s'applique bien !!!!


Bonjour asnyne

Pour appliquer un théorème, c'est simple, il suffit de vérifier ses hypothèses!
A priori, le théorème du point fixe demande au moins que f soit une fonction et non une suite de fonctions. Donc si tu en déduis quelque chose, tu n'as pas utilisé le théorème du point fixe, mais autre chose. Alors, il faut justifier ce que tu fais…

Posté par
asnynere : point fixe 03-06-23 à 20:08

Merci 🙂

Posté par
flightre : point fixe 03-06-23 à 20:22

bonsoir

sauf erreur on peut aussi directement faire des manip sur l'expression donnée dans l'enoncé et voir que  Un = (2n-2 )/ n

je laisse le soin au posteur de retrouver ce resultat  

Posté par
Sylvieg Moderateurre : point fixe 03-06-23 à 20:37

asnyne @ 03-06-2023 à 10:17

Merci
A vrai dire j'ai trouvé le terme general de Un
Et j 'ai calculé la limite .
à voir l'exercice, cette question a été posé juste apres .ce qui fait à autre chose.
Je pense que le prof visait le théoreme du point fixe !!
Merci ami .bonne journée

Posté par
asnynere : point fixe 03-06-23 à 20:59

Bonjour
Oui flight c'est fait .
Mon idée est de trouver la limite sans passer par le terme géneral !!
Est ce que c 'est possible ?!

Posté par
fabo34re : point fixe 03-06-23 à 21:08

Ca fait quand même une chouette suite qu'on peut proposer au lycée. Surtout en 1ère pour utiliser les suites arithmétiques! C'est tellement rare.

Ici avec l'écriture (n+1)u_{n+1}=nu_n +2, alors on voit   v_n=nu_n  une suite arithmétique de raison 2.
Ainsi v_n=v_1+2(n-1), et u_n=2-2/n


En tout cas, très intrigant cette limite x avec l'écriture (n+1)x=nx+2. Y aurait-t-il une raison pour laquelle ça fonctionne, ou est-ce juste un hasard?

Posté par AitOuglifre : point fixe 03-06-23 à 22:05

fabo34 @ 03-06-2023 à 21:08


En tout cas, très intrigant cette limite x avec l'écriture (n+1)x=nx+2. Y aurait-t-il une raison pour laquelle ça fonctionne, ou est-ce juste un hasard?


Pour répondre à cette question, on peut fixer un entier p et étudier la suite u définie par la donnée de u_0 et la relation :
u_{n+1)=\frac{pu_n +2}{p+1}

C'est une suite arithmético-géométrique de terme général :
u_n = 2\left(1 - \left(\frac{p}{p+1}\right)^{n-1}\right)

Et on voit que la limite est 2. Ici, on peut appliquer le théorème du point fixe et l'équation (p+1)x=px+2 a un sens…

Posté par AitOuglifre : point fixe 03-06-23 à 22:39

Attention, la suite n'a rien avoir avec la suite initiale, c'était juste pour dire qu'on n'a plus qu'à "trouver" un entier p pour que la suite ne converge pas... L'équation aura toujours un sens, mais ne correspondra pas du tout à une limite...

Posté par
carpediemre : point fixe 04-06-23 à 09:36

salut

fabo34 très intéressant le point que tu as soulevé ... et on peux même généraliser ainsi :

soit f : N --> N* et considérons les suites définies par u_{n + 1} = \dfrac {f(n)u_n + r} {f(n + 1)} $ et $ v_n = \dfrac {qf(n)v_n} {f(n + 1)}

alors :

la suite w_n = f(n) u_n est arithmétique de raison r
la suite w_n = f(n)v_n est géométrique de raison q

Posté par
carpediemre : point fixe 04-06-23 à 09:37

fabo34 très intéressant le point que tu as soulevé ... et on peux même généraliser ainsi :

soit f : N --> N* et considérons les suites définies par u_{n + 1} = \dfrac {f(n)u_n + r} {f(n + 1)} $ et $ v_\red n + 1} = \dfrac {qf(n)v_n} {f(n + 1)}

alors :

la suite w_n = f(n) u_n est arithmétique de raison r
la suite w_n = f(n)v_n est géométrique de raison q

Posté par
larrechre : point fixe 04-06-23 à 10:19

Bonjour,

fabo34 @ 03-06-2023 à 21:08

...
En tout cas, très intrigant cette limite x avec l'écriture (n+1)x=nx+2. Y aurait-t-il une raison pour laquelle ça fonctionne, ou est-ce juste un hasard?


Oui, ça m'avait intrigué aussi... Une question sans doute saugrenue :  si on considère la suite de suites u_p(n) (données par AitOuglif hier à 22h05) quand p parcourt  \mathbb{N}, on pourrait en tirer quelque chose?


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !