Bonjour, j'ai un problème pour l'exercice suivant:

Soit f [0,1] -->[0,1] une application croissante telle que f (0) différent de 0. Le but de cet exercice est de montrer qu'il existe x appartenant à[0,1] tel que f (x) = x. On dit que x est un point fixe de f.

Soit A = {x appartenant à [0,1], f (x) > x}.
1. Montrer que A possède une borne supérieure et que cette borne est dans [0,1].
Je ne vois pas top ce qu'il y a à faire puisque a est une partie de l'ensemble de définition de f qui est [0;1], A est donc majorée et A est non vide puisque f(0)différent de 0 mais f(0) appartient à [0;1] donc f(0)>0 donc 0 appartient à A.

2. Posons a = sup A. Démontrer les implications suivantes

(a) f(a) > a implique [a , f(a)[ est inclus dans A.

Je ne vois pas trop comment m'y prendre, je vois bien pourquoi a est dans l'intervalle A mais je comprends moins pourquoi l'intervalle ouvert jusqu'à f(a) l'est aussi. J'ai alors fait un dessin mais sur ce dessin, je vois tout de suite que f(a)=a , mais ça ne m'aide pas.

(b) f (a) < a implique] f (a),a] inter A = l'ensemble vide
Pour cette question, c'est la même chose, un dessin ne m'éclaire pas.

3. En déduire que f (a) = a.
Cela semble tellement évident à partir des deux implications précédentes que je ne vois pas comment le rédiger : on n'a ni f(a)>a, ni f(a)<a , on a alors f(a)=a.

Merci d'avance pour votre aide