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Point fixe commun.
Bonsoir;
Soient continues .
On suppose que et
commutent et que
est monotone .
*Montrer que et
admettent au moins un point fixe commun .
*L'hypothèse monotone est-elle nécessaire ?
Bonsoir,
Je suppose f croissante par exemple.
on a deja l'existence de points fixes pour f et g d'assurée.
Soit a le plus grand point fixe de g alors par suite:
donc
est un point fixe de g.
Or f croissante donc d'ou
.
Je reflechis pour la question suivante 
Bon aller une autre petite idée,
si je note A l'ensemble des points fixes de g alors f(A) inclus dans A.
Si a-=min(A) et a+=max(A) alors:
f(a-) est dans A et f(a+) egalement. Donc f(a-)>=a- et f(a+)<=a+ soit:
f(a-)-g(a-)>=0 et f(a+)-g(a+)<=0 donc il existe c dans A(enfin si c'est l'intervalle [a-,a+] c'est ok) tel que f(c)=g(c).
Ok on est bien d'accord.
La suite est à valeurs dans A. A est fermé car c'est l'image reciproque de g(x)-x.
La suite est bornée également on peut en extraire une sous-suite x(n_k) qui converge vers un certain c (c est dans A)donc f(x_(n_k))--->c par continuite de f on a:
f(lim x_nk)=c=f(c).
Bon aller la peut etre que je l'ai lol
On a donc montre que x_n avait une valeur d'adhérence si elle en admet une seule etant dans un compact elle convergera.
Si elle admettait une autre valeur d'adherence d telle que x_nj tend vers d alors:
g(x_nj)--->g(d)=d
g(x_nk)--->g(c)=c or la suite definie par x_0=b et x_(n+1)=g(x_n) est constante.
Absurde.
Ca sent la bourde,une de plus une de moins 
J'ai pas les yeux en face des trous 
Une autre idée cette suite me disant trop rien.
Si A est fini, f etant croissante sur A si f n'avait pas de points fixes dans A alors f serait injective donc une permutation de A dans A sans points fixes avec f(x)>x. Impossible.
salut j'ai pas tout lu mais je ne sais pas si je peux avancer le problème,
Il me semble qu'il suffit que f soit strictement positive dans un voisinage de 0. En effet en reprenant mes suites on a pour n assez grand x-an >0 et dans le voisinage. DOnc f(x-an)>0 et f(x)>f(an) etc.
Salut Cauchy,
C'est normal que tu comprends pas trop, parceque j'avais confondu avec un classique :d Je suis désolée pour le désagrément engendré.. :'(
Bonsoir Cauchy et nassoufa_02 ;
* Le cas où est décroissante est relativement simple car la fonction
est alors continue strictement décroissante sur
et vu que
et
elle s'annule en un unique point
et comme
on voit que
et donc que
(remarquer que dans ce cas le point fixe commun à
et
est unique).
* Si est croissante on choisit
un point fixe de
(il est facile de montrer qu'un tel point existe) et on définit la suite récurrente
cette suite est monotone (croissante si
et décroissante si
) elle est donc convergente (puisque bornée) vers un réel
et il est facile de vérifier que
.
Je ne sais pas encore si l'hypothèse montone est nécessaire pour conclure au résultat.
Bonjour elhor et tous les autres
L'hypothèse f monotone n'est pas nécessaire, mais je ne sais pas faire une étude complète. Alors voilà:
Soit G l'ensemble des points fixes de g, qui est un compact non vide. L'hypothèse de commutation fait que f(G) est contenu dans G. On veut donc assurer un point fixe de f dans G. Or on connait des conditions SUFFISANTES pour ça, qui n'ont rien à voir avec la monotonie de f. Par exemple si |f(x)-f(y)|<|x-y| pour x distinct de y, il y a un point fixe.
Je ne suis pas très satisfaite, mais ça répond à la question.
Reste que je ne sais pas si le résultat est vrai sans hypothèses, et que je n'arrive pas à fabriquer des (contr)exemples parceque les fonctions qui commutent ont l'air rarissimes!
C'est clair je me suis triture la tete pour trouver des fonctions non monotones qui commutent sans résultat
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