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Point fixe d'une fonction contractante

Posté par
Leonegres 25-01-12 à 10:59

Bonjour,

J'aimerais comprendre le point suivant :

Pourquoi une fonction contractante sur un intervalle I admet forcément un point fixe unique sur I ?

Si quelqu'un peut m'apporter quelques lumières à ce sujet.

Merci

Posté par
alainpaulre : Point fixe d'une fonction contractante 25-01-12 à 11:06

Bonjour,

Essaie sur une fonction ad hoc ,
contractante , tu obtiendras des intervalles
emboîtés de plus en plus petits...


Alain

Posté par
Leonegresre : Point fixe d'une fonction contractante 25-01-12 à 11:10

Je te remercie.

Il y a manifestement quelque chose que je n'ai pas saisie ... je m'explique :

Si je prends f(x)=\sqrt{x} sur ]1,2[, si je ne m'abuse elle est contractante sur cet intervalle.

Pourtant, il n'y a pas de point tel que f(x0)=x0

Posté par
Leonegresre : Point fixe d'une fonction contractante 25-01-12 à 11:23

Je me permets de réitérer ma question, afin que la réponse potentielle soit en adéquation avec celle-ci.

Pourquoi une fonction contractante sur un intervalle I admet forcément un point fixe unique sur I ?

Posté par
Camélia Correcteurre : Point fixe d'une fonction contractante 25-01-12 à 13:42

Bonjour Leo

Il faut une fonction définie sur un intervalle I à valeurs dans le même intervalle I. D'autre part, par contractante on entend il existe k tel que 0 \leq k {\red <} 1 et |f(x)-f(x')|\leq k Ce n'est pas le cas de f(x)=\sqrt x sur ]1,2[. En principe on prend plutôt des segments...

Posté par
Leonegresre : Point fixe d'une fonction contractante 25-01-12 à 13:56

Bonjour Camelia,

C'est une notion totalement nouvelle pour moi, et je livre en "bloc" mon incompréhension.

Ce que j'en ai compris (et peut-être mal compris), c'est qu'une fonction contractante sur un intervalle I serait une fonction k-lipschitzienne sur ce même intervalle, mais avec 0<k<1.

De ce fait, sa croissance ne peut être nulle, ni supérieur à 1.

Dans ce cas, sur [2,3]   ( [1,2] n'étant pas le bon exemple), dans quelle mesure f(x)=\sqrt{x} ne serait-elle pas contractante ?

Par contre, elle ne peut avoir un point fixe sur cet intervalle.

Donc je ne comprends pas.

Posté par
Camélia Correcteurre : Point fixe d'une fonction contractante 25-01-12 à 14:00

Dans ce cas f "sort" de l'intervalle! Il faut une fonction f:I\to {\red I}

Posté par
Arkhnorre : Point fixe d'une fonction contractante 25-01-12 à 14:03

Bonjour.

Citation :
c'est qu'une fonction contractante sur un intervalle I serait une fonction k-lipschitzienne sur ce même intervalle, mais avec 0<k<1.

C'est ça !

La racine carrée est bien contractante sur [2,3]. (mais personne ne pouvait deviner qu'il s'agissait cet intervalle)

Citation :
une fonction contractante sur un intervalle I admet forcément un point fixe unique sur I

Une précision importante : le fait que I soit un intervalle n'est pas suffisant pour assurer l'existence du point fixe; il faut que l'intervalle soit fermé pour appliquer le théorème.

Posté par
Camélia Correcteurre : Point fixe d'une fonction contractante 25-01-12 à 14:06

Bonjour Arkhnor... et la stabilité de l'intervalle est essentielle!

f(x)=x/2 est contractante sur n'importe que [a,b] (avec a > 0) mais n'a aucun point fixe!

Posté par
Leonegresre : Point fixe d'une fonction contractante 25-01-12 à 14:16

Merci Arkhnor, et merci Camelia,

Et bien voilà, nous y voici.

Théorème du point fixe.
Soit I un intervalle fermé et borné et soit   une application contractante de I sur I. La fonction admet un point fixe unique a , qui est limite de toute suite (un) définie par U0 I et Un+1=(Un)

Il y aurait donc une notion essentielle que j'aurais omise, à savoir celle rappelée par Camelia à 14:00

En me permettant une question béotienne, avoir f:II

voudrait donc dire qu'on a f tel que si on prend un x I, alors on doit avoir f(x) I  

C'est cela ? (désolé, je le dis avec mes mots à moi).

Sans cette condition, point de salut pour une fonction qui se dirait contractante ?

Posté par
Arkhnorre : Point fixe d'une fonction contractante 25-01-12 à 14:20

Oui, bien sur, il faut une application f contractante d'un intervalle fermé dans lui-même. (et il faut que l'intervalle soit non vide aussi, on y pense jamais, mais c'est aussi essentiel !)

Pour la preuve, on prend un x_0 \in I quelconque. (celui qu'on veut, l'important est qu'il y en ait au moins un)
On considère ensuite la suite (x_n) définie par récurrence par la relation x_{n+1} = f(x_n).

On montre que cette suite est de Cauchy. Par conséquent, elle convergence, et la continuité de f montre que la limite est un point fixe.

L'unicité se traite par l'absurde.

Posté par
Camélia Correcteurre : Point fixe d'une fonction contractante 25-01-12 à 14:22

Oui, c'est celà et c'est essentiel... dans les cas d'application du théorème, en général la difficulté est de trouver un bon intervalle. Le fait qu'elle soit contractante sort la plupart du temps tout cuit du théorème des accroissements finis!

Posté par
Leonegresre : Point fixe d'une fonction contractante 25-01-12 à 14:22

Mais :



Prenons I=[2,4], on n'a pas f : I   I , puisque f(2)=1 et f(4)=2  

Posté par
Arkhnorre : Point fixe d'une fonction contractante 25-01-12 à 14:23

Citation :
En me permettant une question béotienne, avoir f:I \toI

voudrait donc dire qu'on a f tel que si on prend un x \inI, alors on doit avoir f(x) \in I  

C'est cela ? (désolé, je le dis avec mes mots à moi).

Oui, c'est ça. De manière générale, dire que f : E \to F signifie que c'est une application de E dans F : à tout élément de E, on associe un unique élément de F.

Citation :
Sans cette condition, point de salut pour une fonction qui se dirait contractante ?

Effectivement, le contre-exemple de Camélia montre que c'est essentiel. (et en général, la recherche de point fixe a un intérêt dans la pratique pour des applications d'un ensemble dans lui-même)

Posté par
Leonegresre : Point fixe d'une fonction contractante 25-01-12 à 14:24

Zut, problème de manip.

Je voulais dire :


f(x)=x/2 est contractante sur n'importe que [a,b] (avec a > 0)  ==> mais  Prenons I=[2,4], on n'a pas f : I  dans  I , puisque f(2)=1 et f(4)=2

Posté par
Camélia Correcteurre : Point fixe d'une fonction contractante 25-01-12 à 14:24

Ton lien ne marche pas... mais déjà si f(2)=1, on est sorti de I=[2,4]

Posté par
Arkhnorre : Point fixe d'une fonction contractante 25-01-12 à 14:25

Citation :
Prenons I=[2,4], on n'a pas f : I   I , puisque f(2)=1 et f(4)=2

Bah, justement, c'est pour ça que c'est un contre-exemple : la propriété f : I \to I n'est pas vérifiée, et c'est pour cela que le théorème n'est pas valide et qu'il n'y a pas de point fixe.

Posté par
Leonegresre : Point fixe d'une fonction contractante 25-01-12 à 14:34

Le lien était une erreur, je reprenais juste la phrase de Camelia.

Donc si j'ai bien compris, il est important de lire le théorème dans "le bon sens" ....

Soit I un intervalle fermé et borné ==> déjà dans mon premier exemple, ce n'était pas le cas ...
et soit   une application contractante de I sur I. ==> certes contractante, ce qui n'était pas le cas pour f(x)=\sqrt{x} sur [1,2], mais il faut en plus qu'on soit de I dans I  (donc que le I "antécédent" contienne le I "image"  (comme c'est bien dit ... )
La fonction  admet un point fixe unique a , qui est limite de toute suite (un) définie ......

Effectivement, y'a encore du boulot ...

Merci beaucoup à tous les 2.

Posté par
Leonegresre : Point fixe d'une fonction contractante 25-01-12 à 14:35

... et grâce à vous, je pense avoir compris.

Merci encore.

Léo

Posté par
Camélia Correcteurre : Point fixe d'une fonction contractante 25-01-12 à 14:35

Ben, voilà! Morale: dans un énoncé de théorème chaque mot a son importance!

Posté par
Leonegresre : Point fixe d'une fonction contractante 25-01-12 à 14:39

Oui, c'est certain. Et pas que dans les maths ...

J'ai lu récemment un excellent article s'intitulant "Pourquoi le niveau de vie peut diminuer alors que le pouvoir d'achat augmente ?".

Comme quoi, bien cibler ce sur quoi on parle est essentiel pour en débattre.

Mais dans le domaine qui nous importe présentement, j'apprends ... d'où mes flottements.

Merci Camelia et Arkhnor.

Posté par
Leonegresre : Point fixe d'une fonction contractante 27-01-12 à 22:27

Camélia ?

Est-ce que l'idée qu'on a évoquée, par rapport aux intervalles, le fait que le I "antécédent" contienne le I "image" , c'est ce qui s'appelle  un intervalle stable par la fonction considérée ? (ton post de 14/06)

Merci

Posté par
Camélia Correcteurre : Point fixe d'une fonction contractante 28-01-12 à 14:12

Si f:E\to E est une fonction une partie A de E est dite stable si f(A)\subset A. L'image de A est contenue dans A. Le mot antécédent n'a pas grandchose à faire ici...

Posté par
Leonegresre : Point fixe d'une fonction contractante 29-01-12 à 01:03

Le mot "antécédent" était à remettre dans le contexte de mon post de   25-01-12 à 14:34   ..................

Posté par
Leonegresre : Point fixe d'une fonction contractante 05-02-12 à 20:06

Merci à tous pour vos précieux renseignements.


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